Definición y Aplicación de Permutaciones y Factoriales

En esta sección, definirás y usarás factoriales para determinar el número de permutaciones u orden de objetos.

Tu trabajo como ayudante de la feria del condado es ordenar los listones de las ovejas en el tablón de anuncios cercano a los corrales de las ovejas. Tienes que mostrar un listón del Más Destacado, un listón del Primer lugar, un listón del Segundo Lugar y un listón del Tercer Lugar. ¿De cuántas formas puedes ordenar los listones?

Orientación

El número de permutaciones de los objetos es el número de posibles arreglos de estos. Considera la pregunta tres en la parte de revisión: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 7 DVDs en un estante? Este es un ejemplo de una permutación. Usamos el Principio Fundamental de Conteo sin repetición para determinar la permutación de los DVDs.

Ejemplo A

¿De cuántas formas se pueden sentar 5 estudiantes en una fila?

Solución: Si consideramos que los estudiantes se sientan en uno de los cinco asientos, entonces hay cinco estudiantes a elegir para el primer asiento, cuatro a elegir para el segundo asiento y así sucesivamente hasta que todos los asientos estén ocupados.

$\underline5\times\underline4\times\underline3\times\underline2\times\underline1=120$ Por lo tanto hay 120 formas para sentar a los estudiantes.

Más Orientación

La forma que acabamos de escribir $\underline5\times\underline4\times\underline3\times\underline2\times\underline1$ también se puede expresar como un factorial . Un factorial es el producto de un número con cada uno de los números a excepción de sí mismo. Usamos la notación, $5!$ , que se lee como "cinco factoriales" para representar la expresión $\underline5\times\underline4\times\underline3\times\underline2\times\underline1$ . Es importante destacar que $0!=1!=1$ . Los estudiantes generalmente se confunden ya que los ceros y unos factoriales son iguales a uno, pero vuelve a pensar en el contexto de esta situación para ilustrarte. Si quieres ordenar cero elementos, ¿Cuántas veces puedes hacerlo? Si quieres ordenar un elemento, ¿Cuántas veces puedes hacerlo? Solo hay una forma para "ordenar" cero o un elemento.

Para calcular un factorial en una calculadora graficadora TI-93 o 84, escribe el número, luego presiona MATH $\rightarrow$ NUM, $4!$ . Presiona ENTER para calcular.

Ejemplo B

Calcula $\frac{10!}{6!}$

Solución: Debemos desarrollar el numerador y el denominador para ver cuáles factores comunes podemos cancelar para simplificar la expresión.

$\frac{10\times9\times8\times7\times{\color{red}6\times5\times4\times3\times2\times1}}{{\color{red}6\times5\times4\times3\times2\times1}}=\frac{10\times9\times8\times7\times{\color{red}\cancel{6!}}}{{\color{red}\cancel{6!}}}=10\times9\times8\times7=5040$

Ejemplo C

En un estante hay 6 libros de matemáticas diferentes, 4 libros de ciencia distintos y 8 novelas. ¿En cuántas formas se pueden ordenar los libros si se mantienen los grupos? (esto quiere decir que todos los libros de matemáticas estén juntos, los de ciencia estén juntos y las novelas estén juntas).

Solución: Hay 6 libros de matemáticas, así que si pensamos en llenar 6 espacios con seis libros, comenzaremos con 6 libros en el primer espacio, luego 5, luego 4, etc.: ${\underline{{\color{red}6}}\times\underline{{\color{red}5}}\times\underline{{\color{red}4}}\times\underline{{\color{red}3}}\times\underline{{\color{red}2}}\times\underline{{\color{red}1}}}={\color{red}720}$ formas.

Hay 4 libros de ciencia, por lo que podemos ordenarlos en $\underline{{\color{blue}4}}\times\underline{{\color{blue}3}}\times\underline{{\color{blue}2}}\times\underline{{\color{blue}1}}={\color{blue}24}$ formas.

Hay 8 novelas, por lo que podemos ordenarlas en $\underline{{\color{green}8}}\times\underline{{\color{green}7}}\times\underline{{\color{green}6}}\times\underline{{\color{green}5}}\times\underline{{\color{green}4}}\times\underline{{\color{green}3}}\times\underline{{\color{green}2}}\times\underline{{\color{green}1}}={\color{green}40,320}$ formas.

Ahora, si cada tipo de libro se puede ordenar en cierta cantidad de formas y hay tres tipos de libros que se pueden poner en $\underline{3}\times\underline{2}\times\underline{1}=6$ formas, entonces hay:

${\color{red}720}\times{\color{blue}24}\times{\color{green}40320}\times6=4,180,377,600$ formas totales de ordenar los libros.

Revisión del Problema Introductorio Si consideramos poner los listones en uno de los cuatro espacios, entonces tenemos cuatro listones a elegir para el primer espacio, tres a elegir para el segundo espacio y así sucesivamente hasta que todos los espacios se llenen.

$\underline4\times\underline3\times\underline2\times\underline1=24$

Por lo tanto, hay 24 formas de ordenar los listones.

Práctica Guiada

Calcula las siguientes expresiones con factoriales.

1. $\frac{12!}{9!}$

2. $\frac{4\times8!}{3!5!}$

3. ¿De cuántas maneras se pueden alinear nueve niños?

4. ¿En cuántas maneras se pueden ordenar 3 libros de cocina, 5 libros de texto, 7 novelas y 4 libros de no ficción en un estante si se mantienen las agrupaciones?

Respuestas

1. $\frac{12\times11\times10\times{\color{red}\cancel{9!}}}{{\color{red}\cancel{9!}}}=1320$

2. $\frac{4\times8\times7\times6\times{\color{red}\cancel{5!}}}{3\times2\times1\times{\color{red}\cancel{5!}}}=\frac{4\times8\times7\times{\color{red}\cancel{6}}}{{\color{red}\cancel{3}\times\cancel{2}}\times1}=224$

3. $9!=362,880$

4. $3!\times5!\times7!\times4!\times4!=2,090,188,800$

Vocabulario

Permutaciones: El número de formas en que los elementos de un conjunto se pueden ordenar o arreglar.

Factorial: Operación en la que un número se multiplica por cada número positivo a excepción de sí mismo.

Práctica

Calcula las siguientes expresiones factoriales.

$\frac{5!}{2!3!}$
$\frac{10!}{2!7!}$
$\frac{4!8!}{9!}$
$\frac{5!10!}{12!}$
¿De cuántas maneras un entrenador de un equipo de baseball puede ordenar nueve jugadores en una formación?
¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra FACTOR?
¿De cuántas formas se pueden alinear 12 buses escolares?
¿De cuántas maneras se pueden sentar juntas 8 niñas en una fila?
Si dos de las ocho niñas del problema anterior deben sentarse juntas, ¿de cuántas maneras se pueden arreglar las 8 niñas en la fila para que ellas dos se sienten juntas?
¿De cuántas formas pueden siete comensales sentarse alrededor de una mesa circular? (Pista: No es $7!$ , considera en qué se diferencia un orden circular de uno lineal al momento de sentarse).
¿En cuántas maneras se pueden ordenar 3 libros de cocina, 4 novelas y 2 libros de no ficción en un estante si se mantienen las agrupaciones?
¿De cuántas maneras pueden ordenarse dos profesores, cuatro alumnos, cinco alumnas y un administrador si los profesores deben sentarse juntos, los alumnos deben sentarse juntos y las alumnas deben sentarse juntas?

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