Permutaciones de Subconjuntos y Permutaciones con Repetición

En esta sección, calcularás las permutaciones de un subconjunto de elementos y calcularás las permutaciones de un conjunto con objetos indistinguibles, esto es, dos o más objetos que son idénticos.

Doce estudiantes de violín compiten por tres asientos en la orquesta. 1° Silla, 2° Silla y 3° Silla. ¿De cuántas formas pueden seleccionar la 1° Silla, la 2° Silla y la 3° Silla los 12 estudiantes competidores?

Orientación

A veces queremos ordenar un subconjunto selecto de un grupo. Por ejemplo, supongamos que vamos a una heladería que ofrece 15 sabores. Si queremos un cono de helado con tres bolas de sabores diferentes, una sobre la otra, ¿Cuántas formas de hacerlo son posibles? Aquí el orden importa, por lo que un cono de chocolate, frutilla y vainilla es diferente de uno de frutilla, vainilla y chocolate. Este es un ejemplo de permutación de un subconjunto. No necesitamos saber de cuántas formas podemos ordenar los 15 sabores, solo tres. En realidad, ya has resuelto este problema usando el Principio Fundamental de Conteo. Hay 15 elecciones para la bola uno, 14 para la bola dos y 13 para la bola tres, por lo tanto $15\times14\times13=2730$ .

También podemos usar factoriales para resolver este problema. Considera la expresión: $\frac{15\times14\times13\times12!}{12!}=\frac{15!}{(15-3)!}=\frac{n!}{(n-r)!}$ , en donde $n$ representa el número total de elementos en el conjunto y $r$ representa el número de elementos en el conjunto que elegimos. Matemáticamente, esto se puede expresar usando la notación $_{15}P_3$ o $_nP_r$ . Para resumir, si queremos encontrar el número de permutaciones de $r$ elementos seleccionados de un conjunto más grande, que contiene $n$ elementos, podemos usar la fórmula: $_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}$ .

$^*$ Ten presente que algunos libros de texto usan la notación $P^n_r$ para representar $_nP_r$ .

También podemos calcular esta expresión fácilmente en la calculadora. Primero, escribe el valor de $n(15)$ , luego ve a MATH $\rightarrow$ PRB, selecciona 2: $_nP_r$ . Ahora, ingresa el valor de $r (3)$ para obtener la expresión 15 $_nP_r$ 3 en la pantalla. Presiona ENTER una vez más y el resultado es 2730.

Ejemplo A

¿De cuántas formas se puede seleccionar a un Presidente, un Vicepresidente, un Secretario y un Tesorero de un club con diez miembros?

Solución: En el proceso de selección, el orden importa, por lo que calculamos el número de permutaciones de un subconjunto de 4 miembros de los 10 miembros del club. Por lo tanto,

$_{10}P_4=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{10\times9\times8\times7\times{\color{red}6!}}{{\color{red}6!}}=10\times9\times8\times7=5040.$

Ejemplo B

Tenemos la palabra VIRGINIA. ¿De cuántas maneras únicas se pueden ordenar estas letras?

Solución: Hay 8 letras que pueden ser ordenadas $8!$ formas. Sin embargo, algunos de estos arreglos no serán únicos ya que hay varias I en la palabra VIRGINIA. Por ejemplo, si ponemos las tres I en colores diferentes, podemos ver que hay varias formas indistinguibles en que las I se pueden ordenar.

$\text{V{\color{red}I}RG{\color{blue}I}N{\color{green}I}A}, \ \text{V{\color{red}I}RG{\color{green}I}N{\color{blue}I}A}, \ \text{V{\color{blue}I}RG{\color{red}I}N{\color{green}I}A}, \ \text{V{\color{blue}I}RG{\color{green}I}N{\color{red}I}A}, \ \text{V{\color{green}I}RG{\color{red}I}N{\color{blue}I}A}, \ \text{V{\color{green}I}RG{\color{blue}I}N{\color{red}I}A}$

De hecho, hay $3!$ o 6 formas en que las I se pueden ordenar que son indistinguibles cuando el arreglo de las demás letras es constante. Para resolver el número de arreglos únicos de las 8 letras con 3 que son indistinguibles, podemos encontrar las permutaciones de las 8 letras y dividirlas por las permutaciones de los elementos indistinguibles.

$\frac{8!}{3!}=\frac{8\times7\times6\times5\times4\times{\color{red}3!}}{{\color{red}3!}}=8\times7\times6\times5\times4=6720$

Ejemplo C

Tenemos la palabra PEPPERS. ¿Cuántos arreglos únicos se pueden hacer a partir de estas letras?

Solución: Hay siete letras en total, tres de las cuales son P y dos de las cuales son E. Podemos desarrollarlas como lo hicimos en el ejercicio anterior y dividir por el número de maneras en que cada una de estas letras se puede ordenar.

$\frac{7!}{3!2!}=\frac{7\times6\times5\times4\times{\color{red}3!}}{{\color{red}3!}\times2\times1}=\frac{7\times6\times5\times(2\times{\color{red}\cancel{2}})}{{\color{red}\cancel{2}}}=7\times6\times5\times2=420$

Revisión del Problema Introductorio En el proceso de selección de la orquesta, el orden importa, por lo que calculamos el número de permutaciones de un subconjunto de 3 miembros de los 12 miembros del club. Por lo tanto,

$_{12}P_3=\frac{12!}{(12-3)!}=\frac{12\times11\times10\times{\color{red}9!}}{{\color{red}9!}}=12\times11\times10=1320$

Entonces, los espacios de la orquesta se pueden llenar en 1320 maneras.

Más Orientación

Podemos generalizar la regla que usamos en los Ejemplos B y C como sigue: En un conjunto con $n$ elementos, en el que $n_1, n_2, n_3, \ldots$ son indistinguibles, podemos encontrar el número de permutaciones únicas de $n$ elementos usando la fórmula:

$\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times n_3!\times\ldots}$

Práctica Guiada

1. Encuentra $_{10}P_6$

2. En un equipo de 12 jugadores, ¿De cuántas formas puede el entrenador elegir jugadores para recibir uno de los siguientes premios? (un premio por cada jugador): Jugador más valioso, mejor espíritu deportivo, jugador con más progreso.

3. ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 pelotas amarillas, 4 rojas y 3 verdes en una fila?

Respuestas

1. $_{10}P_6=\frac{10!}{(10-6)!}=\frac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times{\color{red}4!}}{{\color{red}4!}}=151,200$

2. $_{12}P_3=\frac{12!}{(12-3)!}=\frac{12\times11\times10\times{\color{red}9!}}{{\color{red}9!}}=1,320$

3. $\frac{12!}{5!\times4!\times3!}=\frac{12\times11\times10\times9\times8\times7\times6\times{\color{red}5!}}{{\color{red}4!}\times4!\times3!}=\frac{{\color{red}12}\times11\times10\times9\times(4\times{\color{green}2})7\times{\color{blue}6}}{{\color{red}(4\times3)}\times{\color{green}2}\times{\color{blue}3\times2}}=11\times10\times9\times4\times7=27,720$

Práctica

Calcula las siguientes expresiones con factoriales.

$_8P_5$
$_{11}P_8$
Calcula y explica los resultados de los siguientes $_5P_5, \ _5P_0, \ _5P_1$
Sarah necesita ir a cinco tiendas diferentes. ¿De cuántas formas puede ir a dos de ellas antes de almuerzo?
En una carrera, hay 11 competidores de un grupo etario particular. ¿Cuántos arreglos posibles hay para los primeros cinco ganadores en este grupo etario?
¿De cuántas formas se pueden repartir 8 premios de la rifa diferentes a 15 participantes?
En una clase de 24 estudiantes, hay 6 grupos de 4 estudiantes. ¿De cuántas formas un profesor puede seleccionar a un grupo para limpiar cada una de las tres salas de clases?
En una fiesta de cumpleaños, hay 6 premios únicos que serán entregados al azar a los 6 invitados, de tal manera que ninguno reciba más de un premio. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
¿De cuántas maneras únicas se pueden ordenar las letras en MISSISSIPPI?
¿De cuántas formas se pueden ordenar 2 libros de geometría, 8 de álgebra y 3 de precálculo en un estante si todos los libros de su respectivo tema son idénticos?
En un almuerzo de un departamento de matemáticas, el presidente del departamento tiene tres giftcards de $20 para la cafetería local, cinco giftcards de $25 para una tienda de libros local y dos calculadoras marca State of the Art para entregar como premios entre los 10 miembros del departamento. Si cada profesor recibe un premio, ¿Cuántas distribuciones únicas de premios se pueden hacer?

Prev Next