Definición y Aplicación de Combinaciones

En esta sección, definirás y calcularás combinaciones de objetos y reconocerás la diferencia entre una combinación y una permutación.

Un sistema de lotería consiste de 40 bolas numeradas del 1 al 40. En el "Gran 5", se eligen 5 bolas de las 40. Necesitas que tus cinco números coincidan con los del sorteo para ganar el premio. ¿De cuántas formas se pueden sacar 5 bolas de una selección de 40 números?

Orientación

Las combinaciones de un subconjunto de un conjunto más grande de objetos se refiere al número de maneras en que podemos elegir elementos en cualquier orden. Para una comparación, mira la tabla a continuación para ver cuando el orden importa y cuando el orden no importa.

Combinaciones	Permutaciones
Maneras de elegir a los miembros de un comité a partir de una población más grande.	Maneras de seleccionar oficiales específicos como el presidente de un club, el vicepresidente, el tesorero, etc.
Maneras de seleccionar un conjunto de cubiertas para pizza a partir de una lista de ingredientes más grande.	Maneras de seleccionar y ordenar las bolas de helado en un cono.
Maneras de seleccionar libros a partir de una lista de lectura.	Maneras de seleccionar un orden para leer los libros seleccionados a partir de una lista de lectura.

La forma más simple para describir la diferencia entre una combinación y una permutación es decir que en una combinación el orden no importa. Los miembros de un comité se pueden elegir en cualquier orden pero los oficiales en un club se asignan a una posición específica, por lo tanto, el orden sí importa. Sé cuidadoso con el uso de estas palabras en la vida cotidiana, ya que a veces son mal usadas. Por ejemplo, una combinación de un casillero. Las formas de seleccionar y ordenar los tres números para la combinación de un casillero en realidad no es una combinación, sino que una permutación, ya que el orden sí importa.

Ejemplo A

¿De cuántas formas podemos elegir tres sabores diferentes de helado a partir de una selección de 15 sabores para poner en un bol?

Solución: Primero, ¿Importa el orden en el bol? Cuando creamos un cono de helado con tres bolas en una sección anterior, el orden importaba. Sin embargo, ahora no importa. Trabajemos con el ejemplo del cono de helado. Determinamos el número de permutaciones de un subconjunto de tres sabores a partir de los 15 sabores totales usando la fórmula $\frac{n!}{(n-r)!}=\frac{15!}{(15-3)!}=\frac{15!}{12!}=\frac{15\times14\times13\times{\color{red}\cancel{12!}}}{{\color{red}\cancel{12!}}}=2730$ . Ahora que el orden no importa, este número incluye las $3!$ formas de arreglar cada combinación de 3 sabores. Podemos dividir 2.730 por $3!$ para determinar el número de combinaciones $\frac{2730}{3\times2\times1}=\frac{2730}{6}=455$ .

La notación y la fórmula para las combinaciones se puede expresar como: $\dbinom{n}{r}={_nC}_r=C^n_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ , donde $n$ representa el número de elementos en el conjunto y $r$ representa el número de elementos en el subconjunto.

Ejemplo B

Calcula las siguientes expresiones:

1. $\dbinom{8}{5}$

2. $_8C_0$

3. $_8C_8$

4. $C^{10}_7$

5. Explica por qué las respuestas de 2 y 3 son iguales.

Solución: Todas las notaciones en los problemas del 1 al 4 indican que debemos usar la fórmula para una combinación. También podemos usar la calculadora graficadora para calcularlas. Los problemas 2 y 3 están propuestos en la forma de una notación de calculadora, por lo que usaremos la calculadora para calcular estos dos y la fórmula para los otros dos.

1. $\dbinom{8}{5}=\frac{8!}{5!(8-5)!}=\frac{8\times7\times{\color{red}6}\times{\color{red}\cancel{5!}}}{{\color{red}\cancel{5!}}\times{\color{red}3}\times{\color{red}2}\times1}=\frac{8\times7}{1}=56$ .

2. Escribe 8 en la calculadora graficadora TI-83, luego MATH $\rightarrow$ PRB, selecciona 3: $_nC_r$ . Ahora escribe 0 y en tu pantalla debería aparecer 8 $_nC_r$ 0 antes de que presiones ENTER para obtener la respuesta 1.

3. Escribe 8 en la calculadora graficadora TI-83, luego MATH $\rightarrow$ PRB, selecciona 3: $_nC_r$ . Ahora escribe 8 y en tu pantalla debería aparecer 8 $_nC_r$ antes de que presiones ENTER para obtener la respuesta 1.

4. $C^{10}_7=\frac{10!}{7!(10-7)!}=\frac{10\times9\times8\times{\color{red}\cancel{7!}}}{{\color{red}\cancel{7!}}\times3!}=\frac{10\times{\color{red}\cancel{3}}\times3\times4\times{\color{red}\cancel{2}}}{{\color{red}\cancel{3}}\times{\color{red}\cancel{2}}}=120$

5. En el problema 2, buscamos las formas para elegir 0 elementos a partir de 8 elecciones. Hay solo una forma para resolverlo. En el problema 3, buscamos las formas para elegir 8 elementos a partir de 8 elecciones. Bien, la única forma de hacerlo es elegir los 8 elementos. Por lo tanto, solo hay una forma de elegir cero elementos o todos los elementos de un conjunto.

Ejemplo C

¿De cuántas formas se puede elegir a un equipo de cinco jugadores a partir de una clase de 20 estudiantes?

Solución: Podemos expresar este problema usando la notación $\dbinom{20}{5}$ y luego usa la fórmula para calcular.

$\dbinom{20}{5}=\frac{20!}{5!\times15!}=\frac{{\color{red}\cancel{20}}\times19\times{\color{red}\cancel{6}}\times3\times17\times16\times{\color{red}\cancel{15!}}}{{\color{red}\cancel{5\times4}}\times{\color{red}\cancel{3\times2}}\times{\color{red}\cancel{15!}}}=15,504.$

Revisión del Problema Introductorio Primero, necesitamos determinar si el orden importa. Los números ganadores, 5, 10, 15, 20 y 25 son lo mismo que los números ganadores 25, 5, 20, 10 y 15. Por lo tanto, el orden no importa.

Entonces, usamos la fórmula de las combinaciones $\dbinom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

$\frac{40!}{5!(40-5)!}\\\\frac{40!}{5!35!}\\\\frac {40\cdot39\cdot38\cdot37\cdot36\cdot35!}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot 35!}\\\\frac{78,960,960}{120} = 258,008$

Por lo tanto, hay 258.008 maneras en que se pueden sacar cinco bolas ganadoras a partir de 40 números.

Práctica Guiada

1. Calcula los siguientes ejercicios usando la fórmula para las combinaciones en la calculadora.

a. $\dbinom{7}{5}$

b. $_{20}C_{12}$

c. $C^{15}_7$

2. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de tres estudiantes en un club de quince miembros?

3. ¿Cuántas pizzas con tres ingredientes se pueden hacer si hay 10 ingredientes para elegir?

Respuestas

1. Usando la calculadora para cada uno de estos, obtenemos:

a. $7 \ _nC_r \ 5 = 21$

b. $20 \ _nC_r \ 12 = 125,970$

c. $15 \ _nC_r \ 7 = 6,435$

2. $\dbinom{15}{3}=\frac{15!}{3!(15-3)!}=\frac{{\color{red}\cancel{3}}\times5\times{\color{red}\cancel{2}}\times7\times13\times{\color{red}\cancel{12!}}}{{\color{red}\cancel{3\times2}}\times{\color{red}\cancel{12!}}}=455$ .

3. $C^{10}_3=10 \ _nC_r \ 3 = 120$ .

Vocabulario

Combinaciones: El número de maneras en que un subconjunto de elementos puede seleccionarse a partir de un conjunto más grande sin tener en cuenta el orden de selección.

Práctica

Calcula las siguientes combinaciones con o sin calculadora.

$_{13}C_{10}$
$C^{10}_6$
$\dbinom{18}{10}$
Explica por qué $_9C_5={_9C}_4=126$ .
Decide si las siguientes situaciones son permutaciones o combinaciones.
1. Formas de ordenar estudiantes en una fila.
2. Formas de seleccionar un grupo de estudiantes.
3. Formas de organizar libros en un estante.
4. Formas de seleccionar libros para leer a partir de una colección más grande.
5. Formas de seleccionar tres sabores de yogurt diferentes a partir de una colección de diez sabores.

En cada escenario presentado anteriormente, usa una combinación o una permutación según sea necesario para responder las preguntas.

Hay siete elecciones para aperitivos en el menú de un cóctel. ¿De cuántas formas puedes elegir solo tres de ellos?
Solo tienes tiempo para siete canciones en tu lista de reproducción para hacer ejercicio. Si tienes 10 favoritas, ¿De cuántas maneras puedes seleccionar siete para la lista? Ahora, ¿De cuántas maneras puedes seleccionarlas en un orden particular?
¿De cuántas formas puedes seleccionar dos equipos de cinco jugadores, cada uno a partir de un grupo de 10 jugadores?
En una tienda local de yogurt helado, un sundae viene con tres coberturas a elección. Si hay doce sabores de cobertura, ¿cuántas combinaciones de cobertura son posibles?
¿De cuántas formas se pueden elegir a cuatro personas para servir en un comité a partir de un grupo de 30? ¿Qué pasaría si cada una de las cuatro personas se elige para llenar una posición específica en el comité?
Un equipo de fútbol tiene 20 jugadores, pero solo 11 juegan en un partido.
1. ¿De cuántas formas el entrenador puede elegir un grupo de 11 jugadores para comenzar el partido? (no importa la posición)
2. Ahora, de los 11 jugadores en el campo, uno es arquero, 4 defensas, 3 mediocampistas y 3 juegan a la ofensiva. ¿Cuántas formas hay para asignar a los 11 jugadores a cada una de estas posiciones?
3. Teniendo en cuenta tus respuestas de las partes a y b, ¿De cuántas formas el entrenador puede elegir once jugadores y asignarlos a las posiciones en el campo de juego? Debes asumir que todos los jugadores pueden jugar en cualquier posición.

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