Triángulo de Pascal y los Coeficientes en la Expansión Binomial

Tu trabajo como Agente de Expansión Binomial, puedes elegir si aceptarlo o no, es expandir el binomio . Sin multiplicar por sí mismo cinco veces, ¿Cómo podrías expandir este binomio?

Orientación

Triángulo de Pascal:

Cada fila comienza y termina con un uno. Cada valor "interior" en cada fila es la suma de los dos números que están sobre él. Por ejemplo, y . Este patrón produce una simetría en el triángulo.

Otro patrón que se puede observar es que el número de la fila es igual al número de elementos en dicha fila. Por ejemplo, la fila 1 tiene 1 elemento, 1. La fila 2 tiene 2 elementos, 1 y 1. La fila 3 tiene 3 elementos, 1, 2 y 1.

Un tercer patrón es que el segundo elemento en la fila es igual a uno menos que el número de la fila. Por ejemplo, en la fila 5 tenemos 1, 4, 6, 4 y 1.

Ejemplo A

Continúa el triángulo para determinar los elementos en la fila del Triángulo de Pascal.

Solución: Si sigues el patrón de añadir elementos adyacentes para obtener los elementos en la fila siguiente, vemos que la fila ocho es:

Ahora, continúa el patrón de nuevo para encontrar la fila:

Ejemplo B

Expande el binomio y busca el patrón dentro de los exponentes de cada variable además del patrón presente en los coeficientes de cada uno de ellos.

Solución:

1. Toma dos binomios al mismo tiempo y elévalos al cuadrado usando

2. Luego, distribuye cada término en el primer trinomio a cada término en el segundo trinomio y descarta los términos similares.

Podemos ver que las potencias de comienzan con 4 (el grado del binomio) y disminuye en uno por cada término, mientras que las potencias de comienzan con cero y aumentan en uno por cada término. El número de términos es 5, que es uno más que el grado del binomio. Los coeficientes de los términos son , los elementos de la fila 5 en el Triángulo de Pascal.

Ejemplo C

Usa lo que descubriste en el ejemplo anterior para expandir .

Solución: El grado de esta expansión es 6, por lo que las potencias de comenzarán con 6 y disminuirán de a uno en cada término hasta llegar a 0, mientras que las potencias de comenzarán con cero y aumentarán de a uno en cada término hasta alcanzar 6. Podemos escribir las variables en la expansión (debes dejar espacio para los coeficientes) así:

IEn el ejemplo anterior, observamos que los coeficientes de un binomio de cuarto grado se encuentran en la quinta fila del Triángulo de Pascal. Aquí tenemos un binomio de grado, por lo que los coeficientes se encontrarán en la línea del Triángulo de Pascal. Ahora podemos llenar en los espacios vacíos los coeficientes correctos.

Revisión del Problema Introductorio Para expandir el binomio , puedes usar el Triángulo de Pascal.

El grado de esta expansión es 5, por lo que las potencias de comenzarán con 5 y disminuirán de a uno en cada término hasta llegar a 0, mientras que las potencias de , que en este caso es , comenzarán con cero y aumentarán de a uno en cada término hasta alcanzar 5. Podemos escribir las variables en la expansión (debes dejar espacio para los coeficientes) así:

Los coeficientes de un binomio de quinto grado se encontrarán en la sexta línea del Triángulo de Pascal. Ahora podemos llenar en los espacios vacíos los coeficientes correctos, reemplazando y con .

Práctica Guiada

1. Escribe los elementos en la línea 10 del Triángulo de Pascal.

2. Expande

3. Escribe los coeficientes en la expansión de

Respuestas

1. La línea se determinó en el Ejemplo A:

Posteriormente, la línea es:

2.

3.

Práctica

1. Escribe los elementos en la línea 7 del Triángulo de Pascal.
2. Escribe los elementos en la línea 13 del Triángulo de Pascal.

Usa el Triángulo de Pascal para expandir los siguientes binomios.