Uso del Teorema del Binomio

En esta sección, definirás y aplicarás el teorema del binomio para determinar las expansiones binomiales.

Resuelve el puzle: Soy el quinto término en la expansión de $(2x + 1)^7$ . ¿Cuál soy?

Orientación

¿Cuál soy?

$(a+b)^n=\dbinom{n}{0} a^n b^0 + \dbinom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \dbinom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \dbinom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \dbinom{n}{n} a^0 b^n$

Se puede ver en esta regla que las potencias de $a$ y $b$ aumentan y disminuyen, respectivamente, tal como observamos en la sección anterior. Recuerda que la notación $\dbinom{n}{r}$ se refiere al cálculo del número de combinaciones de $r$ elementos seleccionados a partir de un conjunto de $n$ elementos y que $\dbinom{n}{r}={_nC}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ .

Como resultado, $\dbinom{n}{0}, \dbinom{n}{1}, \dbinom{n}{2}, \dbinom{n}{3} \ldots \dbinom{n}{n-1}, \dbinom{n}{n},$ son los elementos en la $(n+1)^{st}$ línea del Triángulo de Pascal. Si dejamos $n=5$ , entonces podemos encontrar los coeficientes de la siguiente manera:

$\dbinom{5}{0}=\frac{5!}{0!5!}=1; \ \dbinom{5}{1}=\frac{5!}{1!4!}=5; \ \dbinom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=10; \ \dbinom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=10; \ \dbinom{5}{4}=\frac{5!}{4!1!}=5; \ \dbinom{5}{5}=\frac{5!}{5!0!}=1$

Estos son los elementos en la $6^{th}$ línea del Triángulo de Pascal: $1 \ \ 5 \ \ 10 \ \ 10 \ \ 5 \ \ 1$

El Teorema del Binomio nos permite determinar los coeficientes de los términos en la expansión sin tener que extender el triángulo a su fila adecuada.

Ejemplo A

Usa el Teorema del Binomio para expandir $(x+2y)^6$

Solución: Primero, en este ejemplo, $a=x$ , $b=2y$ y $n=6$ . Ahora, podemos sustituir dentro de la regla.

$(x+2y)^6=\dbinom{6}{0}x^6(2y)^0+\dbinom{6}{1}x^5(2y)^1+\dbinom{6}{2}x^4(2y)^2+\dbinom{6}{3}x^3(2y)^3+\dbinom{6}{4}x^2(2y)^4+\dbinom{6}{5}=x^1(2y)^5+\dbinom{6}{6}x^0(2y)^6$

Ahora, podemos simplificar:

$&=(1)x^6(1)+(6)x^5(2y)+(15)x^4(4y^2)+(20)x^3(8y^3)+(15)x^2(16y^4)+(6)x(32y^5)+(1)(1)(64y^6) \\\&=x^6+12x^5y+30x^4y^2+160x^3y^3+240x^2y^4+192xy^5+64y^6$

Más Orientación

¿Qué pasa si solo queremos encontrar un término en la expansión? Podemos usar la siguiente regla para representar el término $(r+1)^{st}$ en la expansión: $\dbinom{n}{r}a^{n-r}b^r$ . La regla es para el término $(r+1)^{st}$ porque si queremos el $1^{st}$ término, entonces $r=0$ (recuerda la regla de la expansión del Teorema del Binomio). El valor de $r$ en la expansión siempre es uno menos que el número del término.

Ejemplo B

Encuentra el $4^{th}$ término en la expansión de $(3x-5)^8$ .

Solución: Ya que queremos el $4^{th}$ término, $r=3$ . Ahora podemos establecer la fórmula con $a=3x$ , $b=-5$ , $n=8$ y $r=3$ y calcular:

$\dbinom{8}{3}(3x)^{8-3}(-5)^3=(56)(243x^5)(-125)=-1,701,000x^5$

Ejemplo C

Encuentra el coeficiente del término que contiene a $y^5$ en la expansión de $(4+y)^9$ .

Solución:

Esta vez, piensa en la regla, $\dbinom{n}{r}a^{n-r}b^r$ , ya que sabemos que $b^r=y^5$ y por lo tanto $r=5$ . También sabemos que $n=9$ y $a=4$ . Ahora, podemos completar estos datos en la regla:

$\dbinom{9}{5}(4)^{9-5} y^5=(126)(256)y^5=32,256 y^5$

Revisión del Problema Introductorio Ya que queremos el $5^{th}$ término, $r=4$ . Ahora podemos establecer la fórmula con $a=2x$ , $b=1$ , $n=7$ y $r=4$ y calcular:

$\dbinom{7}{4}(2x)^{7-4}(1)^4=(35)(8x^3)(1)=280x^3$

Práctica Guiada

1. Usa el Teorema del Binomio para demostrar que $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .

2. Encuentra el coeficiente del $5^{th}$ término en la expansión de $(1-3x)^{10}$ .

3. Encuentra la constante en la expansión de $\left(4x^3+\frac{1}{x} \right)^4$ .

Respuestas

1. $(a+b)^2 &=\dbinom{2}{0}a^2b^0+\dbinom{2}{1}a^1b^1+\dbinom{2}{2}a^0b^2 \\\&=(1)a^2(1)+(2)ab+(1)(1)b^2 \\\&=a^2+2ab+b^2$

2. $r=4$ en el $5^{th}$ término, así que $\dbinom{10}{4}(1)^{10-4}(-3x)^4=210(1)(81x^4)=17,010x^4$ . Ya que solo necesitamos el coeficiente, podemos deshacernos de la variable en la respuesta final. 17.010.

3. El término constante ocurre cuando la potencia de $x$ es cero. Dejemos $r$ desconocida por esta vez: $\dbinom{4}{r}(4x^3)^{4-r}\left(\frac{1}{x}\right)^r$ . Ahora aísla las variables para determinar cuando la potencia de $x$ será cero, como se muestra ahora:

Podemos establecer la parte variable de la regla del término expandido igual a $x^0$ .

Luego simplifica usando las reglas de los exponentes en la parte izquierda de la ecuación hasta que tengamos otras bases, $x$ , en ambos lados y podamos sacar las bases para establecer los exponentes iguales a cada uno y así encontrar $r$ .

$(x^3)^{4-r} (x^{-1})^r &=x^0 \\\x^{12-3r} \cdot x^{-r} &=x^0 \\\x^{12-3r-r} &=x^0 \\\x^{12-4r} &=x^0 \\\12-4r &=0 \\\12 &=4r \\\r &=3$

Ahora, incluye el valor de $r$ en la regla para obtener el término constante en la expansión.

$\dbinom{4}{3}(4x^3)^{4-3}\left(\frac{1}{x}\right)^3=4(4x^3)\left(\frac{1}{x}\right)^3=16.$

Práctica

Expande los siguientes binomios usando el Teorema del Binomio.

$(x-a)^7$
$(2a+3)^4$

Encuentra el término $n^{th}$ en las expansiones de los siguientes binomios.

$(7x-2)^5; \ n = 4$
$\left(6x+\frac{1}{2} \right)^7; \ n = 3$
$(5-a)^9; \ n = 7$
$\left(\frac{2}{3}x+9y \right)^6; \ n = 4$
Encuentra el término con $\ x^5$ en la expansión de $(3x-2)^7$ .
Encuentra el término con $\ y^6$ en la expansión de $(5-y)^8$ .
Encuentra el término con $\ a^3$ en la expansión de $(2a-b)^{10}$ .
Encuentra el término con $\ x^4$ en la expansión de $(8-3x)^5$ .
Encuentra el término constante en la expansión de $\left(x^2+\frac{3}{x} \right)^6$ .
Encuentra el término constante en la expansión de $\left(\frac{5}{x^3}-x \right)^8$ .

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