Encontrar la Probabilidad de un Evento

En esta sección, determinarás la probabilidad de un evento con un espacio muestral conocido.

Tienes un mazo de cartas estándar de 52 cartas. Sacas la carta superior del mazo luego de haberlo barajado. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea un as?

Orientación

La probabilidad que pase un resultado particular de un evento es una medida de cuán probable es que el resultado deseado ocurra. .En esta sección calcularemos la probabilidad de un evento usando el ratio del número de formas en que el resultado deseado pueda ocurrir y el número de elementos en el espacio muestral . El espacio muestral es esencialmente una lista de todos los resultados posibles. Por ejemplo, cuando hacemos girar un dado, el espacio muestral es $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ya que todos estos son posibles resultados. Por lo tanto, la probabilidad de tener un 3 es $\frac{1}{6}$ ya que hay solo una forma de obtener un 3 y hay 6 elementos en el espacio muestral. Podemos escribir una regla para la probabilidad cuando todos los resultados en el espacio muestral son igualmente posibles:

$P(\text{event}) = \frac{\text{number of desirable outcomes}}{\text{number of outcomes in the sample space}}$

Ejemplo A

¿Cuál es la probabilidad de hacer girar un dado y obtener un número primo?

Solución: En este ejemplo, hay exactamente 3 números primos en el dado $\{2, 3, 5\}$ y hay seis elementos en el espacio muestral $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ Por lo tanto $P(\text{prime}) = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .

Ejemplo B

¿Cuál es la probabilidad de obtener un cuatro y un tres cuando se hacen girar dos dados? ¿Y la probabilidad de obtener una suma de 6 cuando se hacen girar dos dados? ¿Cuál es la suma que es más probable de obtener?

Solución: En este caso, es útil hacer un diagrama del espacio muestral cuando se hacen girar dos dados.

$& 1,1 \quad 2,1 \quad 3,1 \quad 4,1 \quad {\color{blue}5,1} \quad 6,1 \\\& 1,2 \quad 2,2 \quad 3,2 \quad {\color{blue}4,2} \quad 5,2 \quad 6,2 \\\& 1,3 \quad 2,3 \quad {\color{blue}3,3} \quad {\color{red}4,3} \quad 5,3 \quad 6,3 \\\& 1,4 \quad {\color{blue}2,4} \quad {\color{red}3,4} \quad 4,4 \quad 5,4 \quad 6,4 \\\& {\color{blue}1,5} \quad 2,5 \quad 3,5 \quad 4,5 \quad 5,5 \quad 6,5 \\\& 1,6 \quad 2,6 \quad 3,6 \quad 4,6 \quad 5,6 \quad 6,6$

A partir de este diagrama, podemos ver que hay 36 resultados posibles cuando se hacen girar dos dados.

Para responder la primera parte de la pregunta, podemos observar en la tabla que hay dos maneras (mostradas en ${\color{red}\text{red}}$ ) ten que podemos obtener un 4 y un 3, así que la probabilidad de obtener un 4 y un 3 es $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$ .

" Para la segunda parte, hay 5 maneras (mostradas en ${\color{blue}\text{blue}}$ ) en que podemos obtener una suma de seis. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una suma de seis es $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ .

Más Orientación

Los ejemplos anteriores son, con más exactitud, descritos como probabilidades teóricas, ya que la teoría es que si todas las muestras tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces la probabilidad es el ratio que se describió. Sin embargo, ¿Esto significa que cuando lancemos una moneda cuatro veces, obtendremos 2 caras y 2 sellos? Teóricamente, este es el resultado más probable, pero es posible que en un experimento obtengamos resultados muy diferentes. Cuando usamos los resultados de un experimento para determinar las probabilidades, se les conoce como probabilidades experimentales. Cada lanzamiento de la moneda. Completa la siguiente tabla para investigar la conexión entre las probabilidades teóricas y experimentales.

Número de lanzamientos de una moneda	Probabilidad de obtener Cara	Probabilidad de obtener Sello
5
10
50
100
$1000^{\ast}$
Theoretical	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

$^*$ Quizás quieras usar un simulador de probabilidades para investigar cuántas caras y cuántos sellos se obtienen con 1.000 lanzamientos o combinar tus resultados de los 100 lanzamientos con otros 9 compañeros de clase.

¿La probabilidad experimental es la misma que la probabilidad teórica? ¿Qué notaste a medida de que el número de lanzamiento aumenta?

Ejemplo C

En un caso de estudio de una droga experimental, había 80 participantes. De los 80 participantes, 65 de ellos no experimentaron efectos secundarios a partir del tratamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que consuma la droga experimente efectos secundarios significativos? ¿Cuán precisa crees que es esta probabilidad? Justifica tu respuesta.

Solución: Si 65 de los 80 participantes no experimentaron efectos secundarios significativos, entonces 15 de ellos sí lo experimentaron. Así que la probabilidad de que alguien en el futuro experimente efectos secundarios significativos a la droga es $\frac{15}{80}=\frac{3}{16}$ . Esta es una probabilidad experimental y como aprendimos en la investigación, la exactitud de este tipo de probabilidad aumentará a medida que el número de pruebas en el estudio aumente. Además, a medida que los individuos y su salud general varíen, también lo hará la probabilidad de que una persona en particular experimente efectos secundarios a partir de una droga.

Intro Problem Revisit Hay 52 cartas posibles para sacar. Cada mazo contiene 4 ases, uno de cada pinta (picas, tréboles, corazones y diamantes).

Por lo tanto, la probabilidad de que la carta que saques de la parte superior del mazo sea un as es $\frac {4}{52} = \frac{1}{13}$ .

Práctica Guiada

1. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una ficha roja a partir de una bolsa que contiene 10 fichas rojas, 12 fichas azules y 15 fichas blancas?

2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener pares cuando se hacen girar dos dados?

3. Durante un mes, Sally y Stan registraron cuántas veces se cortaban las llamadas en su celular. En ese período de tiempo, Sally hizo 55 llamadas telefónicas y 4 se cortaron, mientras que Stan hizo 36 llamadas y 3 se cortaron. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada se corte en el celular de Sally? ¿Y en el de Stan? ¿Quién parece tener un servicio más confiable?

Respuestas

1. $P(\text{red})=\frac{10}{10+12+15}=\frac{10}{37}$ .

2. Hay seis maneras de obtener pares $(1, 1), (2, 2),$ etc. (Vuelve al diagrama del Ejemplo B). Por lo tanto, $P(\text{doubles})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ .

3. Sally, $P(\text{dropped call})=\frac{4}{55}\approx 0.0727$ ; Stan, $P(\text{dropped call})=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\approx 0.0833$ ; Sally parece tener un servicio más confiable.

Vocabulario

Probabilidad: La medición de la probabilidad del resultado deseado de un evento.

Espacio Muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un evento

Probabilidad Teórica: El ratio entre el número de maneras en que se puede lograr un resultado deseado y el número de resultados en el espacio muestral.

Probabilidad Experimental: El ratio entre el número de maneras en que se puede lograr un resultado deseado y el número de resultados en el espacio muestral determinado por un experimentos con múltiples pruebas.

Prueba: Cada lanzamiento de una moneda, giro de un dado u otro evento que resulte en uno o en un conjunto de resultados posibles.

Práctica

Determina las siguientes probabilidades.

En un mazo estándar de cartas, hay 4 pintas (dos negras, picas y tréboles; dos rojas, corazones y diamantes) y en cada pinta hay cartas numeradas del 2 al 1sota, una reina, un rey y un as. Usa esta información para responder las preguntas 1 a la 5.

¿Cuál es la probabilidad de sacar una reina al azar?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra al azar?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con cara (jota, reina o rey) al azar?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta roja al azar?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta con un número par al azar?

Usa la tabla de resultados al lanzar dos dados (Ejemplo B) para responder las preguntas 6 a la 10.

¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor a 8?
¿Cuál es la probabilidad de obtener pares?
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números primos?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma que sea prima?
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma par?

En una bolsa de golosinas en una fiesta hay 8 chicles, 5 caramelos duros y 10 caramelos de canela. Cuando un niño gana un juego en la fiesta, recibe la oportunidad de sacar un premio de la bolsa. Los tres caramelos son esféricos y del mismo tamaño, por lo que son indistinguibles al tacto, lo que asegura una selección al azar.

¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caramelo duro?
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un caramelo de canela?
Eres la tercera persona en seleccionar un caramelo de la bolsa. Los primeros dos invitados sacaron un chicle y un caramelo duro respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas un chicle?

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