Cálculo de Probabilidades de Eventos Combinados

En esta sección, calcularás la probabilidad de eventos que requieren el uso de permutaciones o combinaciones para determinar el número de elementos en el espacio muestral y el número de resultados deseados en el espacio muestral.

Una bolsa pequeña de galletas de animales contiene 5 elefantes, 7 monos y 4 leones. ¿Cuál es la probabilidad de que las primeras dos galletas que saques al azar de la bolsa sean un león seguido por un elefante?

Orientación

Cuando ocurren múltiples eventos, podemos calcular la probabilidad de estos eventos combinados encontrando su producto si los eventos son independientes. Los Eventos Independientes son eventos en los cuales el resultado de un evento no afecta el resultado del otro. Por ejemplo, si lanzamos un dado y luego lo lanzamos otra vez, el resultado del segundo lanzamiento es independiente del resultado del primer evento.

Para determinar la probabilidad de dos eventos independientes, $A$ y $B$ , los cuales han ocurrido, multiplicamos las probabilidades de cada uno de los dos eventos: $P(A) \times P(B) = P(A \ y \ B)$ .

$^*$ Nota. El uso del conjunto de notaciones será introducido en la sección "Unión e Intersección de Conjuntos".

En algunos casos, el resultado de un evento afecta el resultado de un segundo evento. Por ejemplo, cuando se reparte una mano de cartas en un juego de póker, la probabilidad de recibir una carta en particular cambia basada en las cartas que ya han sido repartidas. Este es un ejemplo de la Probabilidad Condicionada . Aquí introduciremos la probabilidad condicionada en situaciones en las que podemos manipular las probabilidades posteriores para crear eventos independientes, como se mostrará en el Ejemplo C.

Ejemplo A

Con una moneda y un dado, encuentra las siguientes probabilidades.

obtener un 5 en el dado y sellos en la moneda.
obtener un número impar en el dado y obtener caras en la moneda.

Solución: Ya que el resultado de lanzar el dado no afecta el resultado de tirar la moneda, estos son eventos independientes. Es por esto que podemos determinar sus probabilidades individuales y multiplicarlas.

$P(5) \times P(T) = \frac{1}{6}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$ .
$P(1, 3, 5) \times P(H) = \frac{3}{6}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

Ejemplo B

¿Cuál es la probabilidad de obtener pares dos veces seguidas? ¿Y tres veces seguidas?

Solución: Cada uno de estos lanzamientos son eventos independientes. Está en la naturaleza humana pensar que solo porque ya hemos obtenido pares una o dos veces es muy improbable que obtengamos pares otra vez. Es verdad que la probabilidad de obtener pares tres veces seguidas es menor que obtenerlos una vez, pero esto no es porque la probabilidad cambie en cada lanzamiento. Veamos por qué esto ocurre:

$P(\text{doubles}) = \frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ , pues hay seis formas de obtener pares.

$P(\text{doubles twice}) = \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

$P(\text{doubles three times}) = \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$

Ejemplo C

¿Cuál es la probabilidad de que saques un as de un mazo de cartas tres veces si cada carta se reemplaza antes de sacar la siguiente? ¿Y si las cartas no se reemplazan?

Solución: Hay 4 ases en un mazo de cartas, por lo que hay una oportunidad de $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$ de sacar un as cada vez que se elige una carta. Para la primera parte de la pregunta, que requiere que cada carta que se elija sea reemplazada, la probabilidad de seleccionar un as no cambia, por lo que los eventos son independientes uno del otro.

$P(\text{three aces, with replacement}) = \left(\frac{1}{13}\right)^3=\frac{1}{2197}$ .

La segunda parte de la pregunta no requiere un reemplazo. Ahora los eventos no son estrictamente independientes. Sin embargo, podemos determinar la probabilidad de un evento independiente y usar la multiplicación para encontrar la probabilidad de los eventos combinados. Para la primera selección, hay 4 ases en el mazo de 52 cartas. Luego de que se elige un as, ¿Cuántas cartas quedan? Bien, para determinar la probabilidad de seleccionar tres ases, debemos asumir que la primera carta fue un as, así que ahora quedan 3 ases en un mazo de 51 cartas. Luego de que se selecciona el segundo as, hay 2 ases en un mazo de 50 cartas. Ahora podemos encontrar el producto de estas probabilidades.

$P(\text{three aces, without replacement}) = \frac{4}{52}\times\frac{3}{51}\times\frac{2}{50}=\frac{1}{13}\times\frac{1}{17}\times\frac{1}{25}=\frac{1}{5525}$ .

Observa que la probabilidad de seleccionar un as disminuye con cada selección en esta situación, ya que el número de ases en el mazo se reduce.

Revisión del Problema Introductorio Hay $7+5+4=16$ galletas en la bolsa. La probabilidad de que la primera galleta que saques sea un león será, por lo tanto $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ .

Ahora, quedan 15 galletas en la bolsa, por lo que la probabilidad de que la segunda galleta que saques sea un elefante es $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ .

Finalmente, $P(\text{lion followed by elephant, without replacement}) = \frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$ .

Práctica Guiada

Determina las siguientes probabilidades.

1. Obtén dos unos y luego una suma de siete usando dos dados.

2. Saca una carta con cara (jota, reina o rey) y luego un as de un mazo completo y barajado de cartas.

3. Saca una mano de cinco cartas que contenga exactamente 2 jotas de un mazo completo y barajado de cartas.

4. Seleccionar al azar un par de calcetines negro, luego un par de calcetines azul marino y luego un par de calcetines blanco de un cajón que contiene 5 pares negros, 4 pares azul marinos y 8 pares blancos. Se reemplaza cada selección antes de que se elija el siguiente par. ¿Y si los pares no se reemplazan?

Respuestas

1. $P(\text{snake eyes}) \times P(\text{seven}) = \frac{1}{36}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$ .

2. $P(\text{jack, queen, king}) \times P(\text{ace}) = \frac{12}{52}\times\frac{4}{51}=\frac{4}{221}$

3. $P(\text{jack}) \times P(\text{jack}) \times P(\text{non jack}) \times P(\text{non jack}) \times P(\text{non jack}) =\frac{4}{52}\times \frac{3}{51} \times \frac{48}{50} \times \frac{47}{49}\times \frac{46}{48}=\frac{1081}{270725}\approx 0.00399298$

Sin embargo, aún no hemos terminado, porque lo que hemos determinado ahora es la probabilidad de que las primeras dos cartas sean los jotas y que las últimas tres no lo sean. Estas cartas se podrían repartir en cualquier orden, por lo que necesitamos determinar el número de permutaciones de estas cartas y multiplicarlo por este valor. Ten en cuenta que las jotas son "indistinguibles" y las no jotas son "indistinguibles". Las permutaciones son: $\frac{5!}{2!3!}=10$ . Esto también se puede describir como el número de combinaciones al seleccionar dos jotas de un conjunto de cinco cartas: $_5C_2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10$ . Estas son solo dos formas de encontrar el mismo resultado. Ahora que tenemos el número de combinaciones o arreglos, podemos multiplicar nuestra probabilidad por este valor:

$\frac{1081}{270725}\times10\approx0.0399298181$ .

4. Para la primera parte de esta pregunta, el número total de calcetines en el cajón es el mismo en cada selección, 17. Por lo que, $P(\text{black, then blue, then white}) = \frac{5}{17}\times\frac{4}{17}\times\frac{8}{17}=\frac{160}{4913}\approx0.032567$ . Ahora, si no reemplazamos los calcetines, el número de calcetines disminuye con cada calcetín que se saque: $P(\text{black, then blue, then white}) = \frac{5}{17}\times\frac{4}{16}\times\frac{8}{15}=\frac{160}{4080}=\frac{2}{51}\approx0.039216$ . Esta probabilidad es un poco mayor porque quitar un par de calcetines negro hace más probable que selecciones un par de calcetines de color diferente en el siguiente par y así sucesivamente.

Vocabulario

Eventos Independientes.: Múltiples eventos en los cuales el resultado de un evento no afecta el resultado del otro. La probabilidad de los eventos múltiples independientes es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

Eventos Condicionales: Eventos en los que el resultado de un evento depende de los resultados de un evento anterior. En esta sección, podemos manipular las probabilidades de los eventos siguientes para reflejar el resultado deseado de los eventos anteriores y, así, crear eventos semi-independientes.

Práctica

Con una ruleta como la que se muestra en el siguiente dibujo, dos dados y un mazo estándar de 52 cartas, calcula las probabilidades de cada evento compuesto que sigue.

Obtén un 4 al girar la ruleta y pares en los dados.
Obtén un número impar al girar y una suma impar en los dados.
Saca cuatro cartas rojas seguidas sin que se reemplacen.
Saca tres cartas con cara (jota, reina o rey) sin que se reemplacen.
Obtén una suma de 8 en los dados y un dos al girar la ruleta.
Obtén un 3 al girar la ruleta tres veces seguidas.
Obtén una suma par en los dados y un número primo al girar la ruleta.
Saca una mano de cinco cartas que contenga exactamente 3 cartas rojas y 2 negras.
Saca una mano de cinco cartas en donde todas sean de la misma pinta.
Saca una mano de cinco cartas que contenga exactamente dos corazones.
Saca una mano de tres cartas que contenga al menos una pica.
Obtén una suma de 7 u 11 en los dados y saca tres cartas en las que al menos una sea una carta con cara.

Prev Next