Diagrama de Árbol y Distribuciones de Probabilidad

En esta sección, usarás Diagramas de Árbol y combinaciones o permutaciones para determinar las probabilidades de múltiples eventos y distribuciones de probabilidad.

En cualquier día de la semana, hay un 62% de probabilidad de que esté nublado en Seattle. ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 3 días nublados en Seattle durante una visita de una semana?

Orientación

A veces, es útil crear un diagrama de árbol para ilustrar los posibles resultados de múltiples eventos y sus probabilidades individuales, calcular las probabilidades de los eventos combinados y el espacio muestral. En otros casos, podríamos usar combinaciones o permutaciones para crear una tabla de Distribución de Probabilidad. Una Distribución de Probabilidad es una tabla que incluye todos los resultados posibles (espacio muestral) y sus respectivas probabilidades.

Ejemplo A

Un juego de azar requiere lanzar una moneda y seleccionar una ficha de una de dos urnas. Si al lanzar la moneda obtienes cara, seleccionas una ficha de la urna A, que contiene 8 fichas amarillas y 5 fichas verdes. Si al lanzar la moneda obtienes sello, seleccionas una ficha de la urna b, que contiene 6 fichas amarillas y 6 fichas verdes. Usa esta información para crear un diagrama de árbol que ilustre los resultados posibles y sus probabilidades. Luego, determina la probabilidad de seleccionar una ficha amarilla.

Soluciónes: Primero, necesitamos hacer tres diagramas. Las primeras ramas del diagrama muestran los resultados del lanzamiento de la moneda y el segundo conjunto de ramas muestra los resultados de la selección de fichas. Observa que cada conjunto de ramas en el diagrama de árbol tiene probabilidades que suman 1. Esto pasa porque uno de los resultados debe ocurrir. En otras palabras, elegirás una ficha amarilla o una verde (no hay otro resultado en el espacio muestral), por lo que la suma de las probabilidades será 1. Estos tipos de eventos se conocen como Eventos Complementarios. .

Al multiplicar "a través" de las ramas, podemos determinar las probabilidades de los eventos combinados. Ahora, mira la suma de las probabilidades en el extremo derecho: $\frac{4}{13}+\frac{5}{26}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1$ . Aquí se ve el espacio muestral completo, por lo que la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles debería ser 1. Esta es una excelente forma para revisar la precisión en los cálculos de tu diagrama de árbol.

Ahora, responde la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una ficha amarilla? Si miras el diagrama, hay dos formas de seleccionar una ficha amarilla. Primero, podemos lanzar la moneda y obtener cara y luego seleccionar una ficha amarilla de la urna A. Esta probabilidad es $\frac{4}{13}$ . Segundo, podemos lanzar la moneda y obtener sello y luego seleccionar una ficha amarilla de la urna A. Esta probabilidad es $\frac{1}{4}$ . Podemos añadir las probabilidades de estos dos "caminos" al mismo resultado final y obtener $\frac{4}{13}+\frac{1}{4}=\frac{29}{52} \thickapprox 0.5577$ .

Ejemplo B

En una caja de 20 dulces, hay 8 que contienen nueces. Si se sacan 5 al azar para comer, crea una tabla de distribución de probabilidad de seleccionar 0, 1, 2, 3, 4 o 5 dulces que contengan nueces en la muestra.

Solución: Primero, creemos una fórmula para determinar la probabilidad de cada uno de los resultados. Podemos usar las combinaciones para que nos ayuden a hacer esto. Primero, ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 5 dulces de una caja de 20 unidades? Esta es una combinación, por lo tanto $_{20}C_5$ o $\dbinom{20}{5}$ . Este valor será el total de números de resultados posibles y, por lo tanto, el denominador de nuestro ratio de probabilidad. Ahora, ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 0 de 8 dulces con nueces y 5 de los 12 dulces sin nueces? De nuevo, tenemos combinaciones y sus productos se pueden encontrar en el numerador de nuestro ratio de probabilidad: $\dbinom{8}{0} \dbinom{12}{5}$ . Ahora, podemos juntar todo y encontrar la probabilidad de seleccionar 0 dulces con nueces : $\frac{\dbinom{8}{0} \dbinom{12}{5}}{\dbinom{20}{5}}=\frac{33}{646} \thickapprox 0.05108$ .

Resolvemos de forma similar si queremos 1 dulce que tenga nueces: $\frac{\dbinom{8}{1} \dbinom{12}{4}}{\dbinom{20}{5}}=\frac{165}{646} \thickapprox 0.25542$ .

Para 2 dulces con nueces, tenemos: $\frac{\dbinom{8}{2} \dbinom{12}{3}}{\dbinom{20}{5}}=\frac{385}{969} \thickapprox 0.39732$ , y así sucesivamente.

La tabla a la derecha muestra todas las probabilidades finales de cada resultado en el espacio muestral. A esto se le llama Tabla de Distribución de Probabilidad.

¿Qué pasa si sumamos todas las probabilidades de esta tabla?

$0.05108 + 0.25542 + 0.39732 + 0.23839 + 0.05418 + 0.00361 = 1$

Esto significa que la probabilidad de obtener uno de estos resultados es del 100%, Además, esto muestra que nuestra distribución de probabilidad está correcta, ya que hemos incluido todos los resultados posibles y la suma de sus probabilidades es 1. En otras palabras, esto ilustra que no hay otros resultados posibles, pues hay una oportunidad de un 100% de obtener uno de estos resultados.

Número de Dulces Seleccionados que Contienen Nueces	Probabilidad
0	$\frac{33}{646} \thickapprox 0.05108$
1	$\frac{165}{646} \thickapprox 0.25542$
2	$\frac{385}{969} \thickapprox 0.39732$
3	$\frac{77}{323} \thickapprox 0.23839$
4	$\frac{35}{646} \thickapprox 0.05418$
5	$\frac{7}{1938} \thickapprox 0.00361$

Ejemplo C

Con el tiempo, Ronald ha demostrado que en 2 de 5 intentos hace un tiro al centro del blanco con un arco y una flecha. Crea una tabla de distribución de probabilidad que muestre los posibles resultados y las probabilidades asociadas cuando Ronald dispara tres flechas.

Solución: Primero, consideraremos cada tiro al centro del blanco como un éxito y los alejados del centro una falla. Así, la probabilidad de un éxito es de $\frac{2}{5}$ y la probabilidad de una falla es de $\frac{3}{5}$ . La probabilidad de cero éxitos es $\left(\frac{3}{5}\right)^3=\frac{27}{125}=0.216$ . De forma similar, la probabilidad de tres éxitos es $\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{125}=0.064$ . Con tres disparos, hay otras dos posibilidades que considerar. Ronald también podría tener un éxito y dos fallas o dos éxitos y una falla. En estos casos, debemos considerar que uno o dos de los disparos podría ser un éxito, por lo que multiplicaremos por el número de "combinaciones" que son posibles. Por ejemplo, si Ronald tiene un éxito, entonces hay $\dbinom{3}{1}$ o 3 formas en que esto puede ocurrir: EFF, FEF o FFE. Así que multiplicaremos las combinaciones por la probabilidad de un éxito y dos fallas: $\tbinom{3}{1} \left(\frac{2}{5}\right)^1 \left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{54}{125}=0.432$ . Para dos éxitos y una falla, tenemos $\tbinom{3}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{3}{5}\right)^1=\frac{36}{125}=0.288$ . Ahora, haz una tabla de distribución de probabilidad:

Números de tiros al centro del blanco	Probabilidad
0	0.216
1	0.432
2	0.288
3	0.064

Este es un ejemplo de un tipo especial de probabilidad llamado Probabilidad Binomial porque su regla se parece al Teorema del Binomio. Para que un problema sea una probabilidad binomial, debe consistir de múltiples pruebas independientes, llamados Ensayos de Bernoulli, en los que hay un éxito o una falla. En otras palabras, , $P(\text{success}) + P(\text{failure}) = 1$ y el resultado de cada prueba es independiente del resultado de la prueba anterior

Si establecemos $n = \text{number of trials}$ , $p = \text{probability of a success}$ y $r = \text{number of successes}$ , podemos usar la siguiente fórmula para determinar la probabilidad de todos los éxitos.

$P( r \ \text{successes}) = \dbinom{n}{r}(p)^r(1-p)^{n-r}.$

Observa que esta fórmula es lo mismo que hicimos para encontrar la probabilidad de que Ronald disparara dos flechas al centro del blanco:

Para dos tiros al centro del blanco, $n=3$ , $p=\frac{2}{5}$ , y $r=2$ : $\dbinom{3}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(1- \frac{2}{5}\right)^{3-2}=\dbinom{3}{2} \left(\frac{2}{5}\right)^2 \left(\frac{3}{5}\right)^1=\frac{36}{125}=0.288$ .

Revisión del Problema Introductorio Menos de tres días nublados significa que podría haber 0, 1 o 2 días nublados durante la visita de una semana. Podemos sumar estas probabilidades individuales para determinar la probabilidad. Para la Probabilidad Binomial, $n=7$ (ya que hay 7 días en una semana), $p=0.62$ y $r$ toma los valores 0, 1 y 2.

$\dbinom{7}{0}(0.62)^0(0.38)^7+\dbinom{7}{1}(0.62)^1(0.38)^6+ \dbinom{7}{2}(0.62)^2(0.38)^5=0.0.001144 + 0.01306774 + 0.06396902568 = 0.07818076568$

Por lo tanto, solo hay una probabilidad de un 7.8% de que menos de 3 días estén nublados durante un viaje de una semana. ¡Mejor asegúrate de llevar un paraguas!

Práctica Guiada

1. Sarah puede caminar o tomar el autobús a la escuela. Cuando camina, es más probable que llegue tarde a la escuela que cuando toma el autobús. Completa el diagrama de árbol y encuentra la probabilidad de que Sarah llegue tarde a la escuela.

2. Hay 15 ampolletas en una caja y dos de ellas están defectuosas. Crea una distribución de probabilidad que ilustre los posibles resultados y sus respectivas probabilidades si seleccionamos al azar 3 ampolletas de la caja. Demuestra que la suma de las probabilidades es 1.

3. En un día hábil cualquiera, hay un 15% de probabilidad que el Profesor Calculus cause una explosión en su laboratorio. Usa la fórmula de Probabilidad Binomial para determinar la probabilidad de que el Profesor Calculus cause menos de tres explosiones en una semana de cinco días hábiles.

Respuestas

Para encontrar la probabilidad de que Sarah llegue tarde necesitamos sumar las probabilidades de las dos formas diferentes en que pueda llegar tarde. Puede caminar y llegar tarde o puede tomar el autobús y llegar tarde:

$P(\text{walk y late}) + P(\text{bus y late}) =\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{1}{10}\right)+ \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{20}\right)=\frac{1}{12} \thickapprox 0.08333$

Número de bombillas defectuosas	Probabilidad
0	$\frac{\dbinom{2}{0} \dbinom{13}{3}}{\dbinom{15}{3}}=0.628571$
1	$\frac{\dbinom{2}{1} \dbinom{13}{2}}{\dbinom{15}{3}}=0.342857$
2	$\frac{\dbinom{2}{2} \dbinom{13}{1}}{\dbinom{15}{3}}=0.028571$

$0.62857 + 0.342857 + 0.028571 = 0.999998$

Ya que redondeamos las probabilidades individuales, la suma puede reflejar esta inexactitud. Para todos los intentos y propósitos, la respuesta es 1.

Observa que no es posible seleccionar una muestra que contenga 3 ampolletas defectuosas, ya que solo hay 2 ampolletas defectuosas en la caja.

3. Menos de tres explosiones significa que el Profesor Calculus podría causar 0, 1 o 2 explosiones en una semana de trabajo. Podemos sumar estas probabilidades individuales para determinar la probabilidad. Para la Probabilidad Binomial, $n=5$ (ya que hay 5 días hábiles en una semana), $p=0.15$ y $r$ toma los valores 0, 1 y 2.

$\dbinom{5}{0}(0.15)^0(0.85)^5+\dbinom{5}{1}(0.15)^1(0.85)^4+ \dbinom{5}{2}(0.15)^2(0.85)^3=0.443705 + 0.391505 + 0.138178 = 0.973388$

Vocabulario

Distribución de Probabilidad: Un resumen, usualmente una tabla, de los posibles resultados de un experimento o serie de eventos y todas las probabilidades correspondientes.

Eventos Complementarios: Un par de eventos en los que si un evento no sucede, el otro sí sucederá. Como resultado, la suma de sus probabilidades debe ser igual a 1.

Práctica

Jamie y Olivia son mejores amigas y vecinas. Como tales, a menudo cenan juntas en una de sus casas. Alrededor del 30% de las veces, comen en la casa de Jamie y su mamá cocina comida no vegetariana el 65% del tiempo. El resto de las veces, comen en la casa de Olivia y su mamá sirve comida vegetariana el 55% del tiempo.

Haz un diagrama de árbol, incluidas las probabilidades adecuadas para ilustrar este escenario.
¿Cuál es la probabilidad de ir a la casa de Olivia y cenar una comida que contenga carne?
¿Cuál es la probabilidad de que las niñas coman una cena vegetariana?

Tommy tiene 20 bombitas de agua en el bolsillo. Hay una probabilidad de $\frac{1}{8}$ de que cada bombita explote en él antes de siquiera tener la oportunidad de lanzarla. Usa la Distribución de Probabilidad Binomial para responder las siguientes preguntas.

¿Cuál es la probabilidad de que Tommy lance ocho sin que ninguna se reviente en él?
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de las ocho bombitas que quiere lanzar le exploten a él?
¿Cuál es la probabilidad de que más de dos de las ocho le exploten a él?

Una vacuna tiene una tasa de éxito de un 92%. La vacuna se les entrega a 50 pacientes en un consultorio. Usa la Distribución de Probabilidad Binomial para responder las siguientes preguntas.

¿Cuál es la probabilidad de que funcione en todos los pacientes?
¿Cuál es la probabilidad de que falle en exactamente 9 pacientes?
¿Cuál es la probabilidad de que falle en más de 1 paciente?

Cinco cartas se sacan al azar de un mazo de cartas.

Crea una tabla de distribución de probabilidad para el número de cartas "superiores" (jota, reina, rey o as) en una mano de 5 cartas elegidas al azar.
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una carta superior?
¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos dos?

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