Probabilidades Geométricas Básicas

En esta sección, determinarás las probabilidades de eventos que ocurren basados en propiedades Geométricas.

Un blanco rectangular que mide 12 pulgadas por 24 pulgadas tiene pintado un cuadro rojo de 2 pulgadas por 2 pulgadas en el centro. ¿Cuál es la probabilidad de que un dardo que da en el blanco caiga en el cuadrado rojo?

Orientación

A veces, necesitamos usar nuestro conocimiento de geometría para determinar la probabilidad de que ocurra un evento. Podemos usar áreas, volúmenes, ángulos, polígonos o circunferencias.

Ejemplo A

Un juego de "ponle la cola al burro" tiene un póster rectangular de 2 pies por 2 pies. El área en el que la cola debería ir se muestra como un círculo con un radio de 1 pulgada. Si asumimos que la punta de la cola se clavará completamente al azar y que la punta se clavará en el póster (o el jugador gana otra oportunidad), ¿Cuál es la probabilidad que la punta de la cola se clave en el círculo?

Solución: Esta probabilidad se puede encontrar al dividir el área del blanco circular por el área del póster. Debemos tener las mismas unidades de medida por cada área, así que convertiremos los pies en pulgadas.

$\frac{1^2 \pi}{24^2} \thickapprox 0.005454 \ or \ \text{about} \ 0.5 \% \ \text{chance}.$

Ejemplo B

En un juego de azar, se lanza una piedrita en el tablero que se muestra más adelante. Si el radio de cada uno de los círculos azules es de 1cm, encuentra la probabilidad de que la piedrita caiga en un círculo azul.

Solución: : El área de un cuadrado es $16 \ cm^2$ . El área de cada uno de los 16 círculos es $1^2 \pi=\pi$ . La probabilidad de que la piedrita caiga en un círculo es la suma de las áreas de los círculos dividida por el área del cuadrado.

$P(\text{blue circle}) = \frac{16 \pi}{64} \thickapprox 0.785$

Ejemplo C

¿Cuál es la probabilidad de que un dardo lanzado al azar caiga en un área roja en el tablero que se muestra más adelante? ¿Cuál es la probabilidad que, exactamente, dos de tres disparos caigan en la parte roja? El radio del círculo interior es 1 unidad y el radio de cada anillo es, también, de 1 unidad.

Solución: Primero, necesitamos determinar la probabilidad de que caiga en la parte roja. Hay cuatro anillos de un ancho de 1 y el radio del círculo del centro también es de 1, por lo que el radio total es de 5 unidades. El área total del blanco es, por lo tanto $25 \pi$ unidades cuadradas. Ahora, necesitamos encontrar las áreas de los dos anillos rojos y el círculo rojo central. El área del círculo central es $\pi$ unidades cuadradas. El área del anillo exterior se puede encontrar restando el área interior del área del círculo completo. El círculo interior tendrá un radio de 4 unidades, el área del anillo exterior es $25 \pi -16 \pi=9 \pi$ unidades cuadradas. El área del anillo rojo más pequeño se puede encontrar de forma similar. El círculo con este anillo rojo en el exterior tiene un radio de 3 y el círculo interior tiene un radio de 2, por lo tanto, $9 \pi -4 \pi=5 \pi$ unidades cuadradas. Finalmente, podemos sumarlos para obtener el área roja total y dividirla por el área del blanco completo. $\frac{9 \pi+5 \pi+ \pi}{25 \pi}=\frac{15 \pi}{25 \pi}=\frac{3}{5}$ . Así que la probabilidad de darle al área roja es $\frac{3}{5}$ o 60%.

Para la segunda parte del problema, usaremos una probabilidad binomial. Hay 3 pruebas, 2 éxitos y la probabilidad de un éxito es 0,6: $\dbinom{3}{2}(0.6)^2(0.4)=0.432$

Revisión del Problema Introductorio Esta probabilidad se puede encontrar dividiendo el área del cuadrado rojo por el área del blanco. El área del blanco es $12\times24=288$ . El área del cuadrado rojo es $2\times2=4$ . Por lo tanto, la probabilidad de que el dardo llegue al cuadrado rojo es

$\frac{4}{288}\\\\frac{1}{72}\\\\approx 0.0139$

Por lo tanto, hay una probabilidad de aproximadamente 1,39% de que el dardo llegue al cuadrado rojo.

Práctica Guiada

1. Mira la siguiente foto. Si un "círculo" se elige al azar, cuál es la probabilidad de que sea:

a. rojo

b. amarillo

c. azul o verde

d. no naranja

2. Si se lanza un dardo al azar al siguiente blanco, encuentra la probabilidad de que el dardo caiga en cada una de las regiones y demuestra que la suma de estas probabilidades es 1. El diámetro del círculo central es 4cm y el diámetro del círculo exterior es 10cm. ¿Cuál es la probabilidad de que en 5 tiros, al menos dos lleguen a la región 4?

Respuestas

1. a. $\frac{29}{225}$

b. $\frac{69}{225}$

c. $\frac{84}{225}$

d. $\frac{182}{225}$

2. $P(1)&=\frac{2^2 \pi}{5^2 \pi}=\frac{4}{25} \\\P(2)&=\frac{120}{360} \left(\frac{5^2 \pi- 2^2 \pi}{5^2 \pi}\right)=\frac{1}{3} \times \frac{21 \pi}{25 \pi}=\frac{7}{25} \\\P(3)&=\frac{90}{360} \left(\frac{5^2 \pi- 2^2 \pi}{5^2 \pi}\right)=\frac{1}{4} \times \frac{21 \pi}{25 \pi}=\frac{21}{100} \\\P(4)&=\frac{150}{360} \left(\frac{5^2 \pi- 2^2 \pi}{5^2 \pi}\right)=\frac{5}{12} \times \frac{21 \pi}{25 \pi}=\frac{35}{100}$

Ahora súmalos:

$& P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = \\\&=\frac{4}{25}+\frac{7}{25}+\frac{21}{100}+\frac{35}{100} \\\&=\frac{16}{100}+\frac{28}{100}+\frac{21}{100}+\frac{35}{100} \\\&=\frac{100}{100}=1$

La probabilidad de que caiga en la región 4 al menos dos veces en 5 disparos es equivalente a $1 - \left [ P(0) + P(1) \right ]$ .

Usa la probabilidad binomial para determinar estas probabilidades:

$&1-\left [ \dbinom{5}{0} \left(\frac{35}{100}\right)^0 \left(\frac{65}{100}\right)^5+ \dbinom{5}{1} \left(\frac{35}{100}\right)^1 \left(\frac{65}{100}\right)4\right ] \\\&=1-(0.116029+0.062477) \\\& \thickapprox 0.821$

Práctica

Usa el siguiente diagrama para encontrar la probabilidad de que un objeto tirado al azar caiga en un triángulo de un color en particular.

Amarillo
verde
púrpura
no amarillo
no amarillo ni celeste

El blanco de la derecha tiene un círculo central rojo con un área de $\pi \ cm^2$ . Cada anillo que rodea este círculo interno tiene un ancho de 2cm. Usa esta información para responder las siguientes preguntas.

Con un tiro al azar de un dardo, ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en un anillo blanco?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el círculo central?
¿Cuál es la probabilidad de que en 10 tiros, exactamente 6 caigan en las regiones negras?
¿Cuál es la probabilidad de que en 10 tiros, al menos uno caiga en el centro rojo?
¿Cuántos dardos se deben tirar para tener una oportunidad de un 95% de caer en el centro rojo?

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