Unión e Intersección de Conjuntos

En esta sección, definirás y aplicarás las notaciones para la unión e intersección de conjuntos y los complementos de un conjunto.

El Puesto de Helados "Freezy" le pregunta a sus clientes sobre sus sabores favoritos: ¿Chocolate o vainilla? 103 clientes dijeron que les gustaba el chocolate, 98 clientes dijeron que les gustaba la vainilla, mientras que 27 clientes dijeron que les gustaba el chocolate y la vainilla. ¿Cuántos clientes dijeron que les gustaba solo el chocolate? Usa un diagrama de Venn para ayudarte.

Orientación

Un diagrama de Venn se muestra a continuación.

El diagrama ilustra que dentro de algún universo de datos, hay dos subconjuntos, $A$ y $B$ , que tienen algunos elementos en común. El siguiente ejemplo demuestra el uso de un diagrama de Venn en una situación de la vida cotidiana.

Ejemplo A

En una escuela de 500 estudiantes, hay 125 estudiantes inscritos en Álgebra II, 275 estudiantes que practican deportes y 52 estudiantes que están inscritos en Álgebra II y practican deportes. Crea un diagrama de Venn para ilustrar esta información.

Solución: Primero, establezcamos que el conjunto $A$ representa los estudiantes inscritos en Álgebra II y el conjunto $B$ representa los estudiantes que practican deportes. Generalmente hablando, es más fácil empezar en el centro o en la "intersección" del diagrama de Venn. Una vez que ubicamos 52 en la intersección, podemos restarlo al número total de estudiantes que practican deporte y al número total de estudiantes inscritos en Álgebra II para determinar cuántos solo hacen una actividad o la otra. Finalmente, podemos restar este total a 500 para encontrar cuántos están completamente fuera de los círculos.

También hay símbolos que pueden usarse para describir el número de elementos en cada región del diagrama.

Símbolo	Descripción	Valor para este Problema
$n(A)$	El número de elementos en el conjunto $A$	125
$n(A \cap B)$	El número de elementos en la intersección de los conjuntos $A$ y $B$ (todos los elementos que están en la superposición de ambos conjuntos)	52
$n(A \cup B)$	El número de elementos en la unión de los conjuntos $A$ y $B$ (todos los elementos que están en uno o en ambos conjuntos)	330
$n(A ^\prime)$	El número de elementos en el complemento de $A$ (el número de elementos fuera del conjunto ) $A$ )	375
$n((A \cup B)^\prime)$	El número de elementos en el complemento de $A \cup B$ (el número de elementos fuera del conjunto $A$ y $B$ )	170
$n((A \cap B)^\prime)$	El número de elementos en el complemento de $A \cap B$ (todo lo que esta fuera de la intersección de $A$ y $B$ )	448
$n(A \cap B^\prime)$	El número de elementos en la intersección de los complementos de $A$ y $B$ (el número de elementos en $A$ pero no en $B$ )	73

Ejemplo B

Crea un diagrama de Venn para ilustrar la información siguiente acerca de los subconjuntos $M$ y $N$ en el universo $U$ :

$n(M)=89; \ n(N)=103; \ n(M \cup N)=130; \ n(U)=178$

Solución: De nuevo, comenzaremos en el medio de la intersección. Debemos determinar cuántos elementos hay en la intersección. Consideremos que cuando añadimos elementos en $M$ a los elementos en $N$ , añadimos los elementos en la intersección dos veces. Esto sucede porque se cuentan en el conjunto $M$ y se cuentan de nuevo en el conjunto $N$ .¿Observaste que $n(M)+n(N)=89+103=192$ mientras el $n(M \cup N)=130$ Hemos contado dos veces los 62 (192-130) elementos en $M \cap N$ . Ahora, podemos poner este número en el diagrama de Venn y resolver tal como hicimos en el ejemplo anterior.

En general, para los dos conjuntos, $M$ y $N$ , podemos usar la fórmula: : $n(M)+n(N)-n(M \cap N)=n(M \cup N)$ para representar la relación entre las regiones en el diagrama de Venn y para resolver problemas. En este caso, al sustituir la información dada podemos determinar el $n(M \cap N)$ como se muestra a continuación:

$89+103-n(M \cap N)&=130 \\\192-n(M \cap N)&=130 \\\-n(M \cap N)&=-62 \\\n(M \cap N)&=62$

Ejemplo C

Crea un diagrama de Venn para representar la información siguiente y responder las preguntas siguientes.

En una encuesta a 15 estudiantes secundarios, se descubrió que:

80 estudiantes tienen laptops.

110 estudiantes tienen celulares.

125 estudiantes tienen iPods

62 estudiantes tienen una laptop y un celular.

58 estudiantes tienen una laptop y un iPod.

98 estudiantes tienen un celular y un iPod.

50 estudiantes tienen los tres objetos.

a. ¿Cuántos estudiantes tienen solo un celular?

b. ¿Cuántos estudiantes no tienen ninguno de los objetos mencionados?

c. ¿Cuántos estudiantes tienen un iPod y una laptop, pero no un celular?

Solución: Primero, usaremos la información dada para construir el diagrama de Venn, como se muestra a continuación.

Podemos comenzar con escribir ${\color{red}50}$ en el centro, donde los estudiantes tienen los tres objetos. Luego, podemos encontrar los valores en azul al restar 50 de cada uno de los valores "superpuestos". Por ejemplo, hay 62 estudiantes con una laptop y un celular y 50 de ellos también tienen un iPod. Para encontrar el número de los que tienen laptop y celular pero no iPod, resta $62 -{\color{red}50} = {\color{blue}12}$ . Una vez que encuentres los valores azules, podemos encontrar los valores verdes al restar los valores azules y rojos en cada subconjunto del total en el subconjunto. Por ejemplo, el número de estudiantes con un celular pero no otro objeto tecnológico es $110 - ({\color{red}50} +{\color{blue}12} +{\color{blue}48}) = {\color{green}0}$ . Finalmente, podemos sumar todos los valores en los círculos y restar esto de 150, el número de estudiantes encuestados, para determinar que 3 estudiantes no tienen ninguno de estos objetos.

Ahora que el diagrama de Venn está completo, podemos usarlo para responder las preguntas.

a. Hay 0 estudiantes que solo tienen un celular.

b. Hay 3 estudiantes con ningún objeto tecnológico mencionado.

c. Hay 8 estudiantes con un iPod y una laptop pero no un celular.

Revisión del Problema Introductorio El número de clientes que dijo que les gustaba el chocolate y la vainilla es la intersección de los dos círculos en el diagrama de Venn que representa esta situación. Ya que hay un total de 103 personas que dijeron que les gustaba el chocolate, debemos restar al número de los que les gustaba el chocolate y la vainilla para encontrar el número de los que solo les gusta el chocolate.

$103-27= 76$

Por lo tanto, 76 clientes de la tienda "Freezy" dijeron que solo les gustaba el helado de chocolate.

Práctica Guiada

Usa el diagrama de Venn para determinar el número de elementos en cada conjunto descrito en los problemas.

1. $n(A)$

2. $n(C)$

3. $n(A^\prime)$

4. $n(A \cap B)$

5. $n(A \cup B \cup C)$

6. $n(A \cap C^\prime)$

7. $n(A \cap B \cap C)$

8. $n(A^\prime \cap B^\prime \cap C^\prime)$

Respuestas

1. $3 + 7 + 8 + 8 =26$

2. $8 + 8 + 4 + 12 = 32$

3. $8 + 4 + 12 + 6 = 30$

4. $7 + 8 = 15$

5. $3 + 7 + 8 + 8 + 8 + 4 + 12 = 50$

6. $3 + 7 =10$ .

7. 8

8. 6

Práctica

Usa la siguiente información para los problemas 1 al 5.

En una encuesta de 80 dueños de casa, se descubrió que:

30 tenían al menos un perro.

42 tenían al menos un gato.

21 tenían al menos una mascota "otra" (pez, tortuga, reptil, hámster, etc.).

20 Tenían perro(s) y gato (s).

10 tenían gato(s) y mascota(s) otra.

8 tenían perro(s) y mascota(s) otra.

5 tenían los tres tipos de mascotas.

Haz un diagrama de Venn para ilustrar los resultados de la encuesta.
¿Cuántos tenían perro(s) y gato(s) pero no mascota(s) "otra"?
¿Cuántos solo tenían perro(s)?
¿Cuántos no tenían mascotas?
¿Cuántos dueños de mascota(s) otra también tenían perro(s) o gato(s), pero no ambos?

Use las letras en el siguiente diagrama de Venn para describir la región de cada uno de los conjuntos.

$A \cap B$
$A$
$A \cup B$
$A \cap B^\prime$
$(A \cap B)^\prime$
$(A \cup B)^\prime$
$A^\prime$
$B^\prime \cup A$

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