Probabilidad al Usar el Diagrama de Venn y la Probabilidad Condicional

En esta sección, usarás los diagramas de Venn para resolver problemas de probabilidad.

El puesto de helados "Freezy" está probando dos nuevos sabores: Pan Integral y Algodón de Azúcar. Un sondeo llevado a cabo por "Freezy" mostró que a 32 clientes les gustó el de Pan Integral, a 58 clientes les gustó el de Algodón de Azúcar, a 12 les gustó ambos sabores y a 22 no les gustó ningún sabor. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de estos clientes, elegidos al azar, le guste el sabor Algodón de Azúcar?

Orientación

A menudo es útil usar un diagrama de Venn para visualizar las probabilidades de múltiples eventos: En el Ejemplo A exploramos el uso de un diagrama de Venn para determinar las probabilidades de eventos individuales, la intersección de eventos y el complemento de un evento. En el Ejemplo C, continuaremos explorando el concepto de probabilidad condicional y cómo usar un diagrama de Venn para resolver estos problemas. También exploraremos la fórmula para la probabilidad condicional que aprendimos en la sección "Cálculo de Probabilidades de Eventos Combinados".

Ejemplo A

Usa el diagrama de Venn para encontrar las probabilidades.

a. $P(A)$

b. $P(B)$

c. $P(A \cap B)$

d. $P(A \cup B)$

e. $P(A^\prime \cap B^\prime)$

Solución: Básicamente, haremos lo mismo que en la sección anterior, pero con probabilidades en vez de números enteros. Observa que la suma de todos los valores en el diagrama es $0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1 = 1$ . Este diagrama representa el espacio muestral completo de dos eventos, $A$ y $B$ .

a. Para encontrar el $P(A)$ , sumaremos la probabilidad de que solamente $A$ ocurra a la probabilidad de que $A$ y $B$ ocurran para obtener $0.4 + 0.3 = 0.7$ . Por lo tanto $P(A)=0.7$ .

b. De forma similar, $P(B)=0.2+0.3=0.5$ .

c. Ahora, $P(A \cap B)$ es el valor en la región superpuesta 0,3.

d. $P(A \cup B)=0.4+0.3+0.2=0.9$ . También se puede encontrar usando la fórmula $P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0.7+0.5-0.3=0.9$ .

e.Se necesita determinar $P(A^\prime \cap B^\prime)$ encontrando en qué lugar del diagrama todo lo que está fuera de $A$ se superpone con todo lo que está fuera de $B$ . Esa sería la región fuera de ambos círculos y la probabilidad es 0,1. Otra forma de abordar esto es $P(A \cup B)^\prime$ , o $1-P(A \cup B)$ .

Más Orientación

Hay un par de conjuntos de notaciones o probabilidades equivalentes y se llaman Leyes de De Morgan.

$(A \cap B)^\prime=(A^\prime \cup B^\prime)$ para los conjuntos o $P(A \cap B)^\prime=P(A^\prime \cup B^\prime)$ para las probabilidades.

$(A \cup B)^\prime=(A^\prime \cap B^\prime)$ para los conjuntos o $P(A \cup B)^\prime=P(A^\prime \cap B^\prime)$ para las probabilidades.

Le dimos un vistazo a la segunda en la parte 2 del Ejemplo A. Observaremos la primera en el siguiente Ejemplo.

Ejemplo B

Dados $P(A)=0.6$ , $P(B)=0.3$ y $P(A \cup B)=0.7$ , encuentra $P(A \cap B)$ y $P(A^\prime \cup B^\prime)$ .

Solución: Primero, podemos usar la fórmula para la unión de dos conjuntos para determinar la intersección.

$P(A)+P(B)-P(A \cap B)&=P(A \cup B) \\\0.6+0.3-P(A \cap B)&=0.7 \\\0.9-0.7&=P(A \cap B) \\\0.2&=P(A \cap B)$

Ahora, podemos usar la Ley de De Morgan para encontrar $P(A^\prime \cup B^\prime)$ .

$P(A^\prime \cup B^\prime)=P(A \cap B)^\prime=1-P(A \cup B)=1-0.2=0.8.$

También podríamos haber creado un diagrama de Venn para las probabilidades e interpretado $P(A^\prime \cup B^\prime)$ y la unión de las regiones que están fuera de $A$ con las regiones que están fuera de $B$ que habría sido todo en el diagrama de Venn a excepción de la superposición de las dos regiones o $P(A \cap B)$ .

Ejemplo C

La información de una encuesta de 140 estudiantes demostró que 37 estudian música, 103 practican deportes y 25 no hacen ninguna de las actividades anteriores. Crea un diagrama de Venn para ilustrar la información recolectada y luego determina la probabilidad de que si un estudiante se elige al azar:

a. él o ella estudiará música

b. él o ella estudiará música. Ya se sabe que él o ella practican un deporte.

Solución: Establezcamos que $M$ representa el conjunto de estudiantes que estudia música y $S$ representa el conjunto de estudiantes que practican deportes. Primeros, determinemos el número de estudiantes que estudian música y practican un deporte para completar la región superpuesta en el diagrama y luego podemos encontrar otros valores.

$n(M)+n(S)-n(M \cap S)&=n(M \cup S) \\\37+103-n(M \cap S)&=115 \\\n(M \cap S)&=25$

a. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar estudie música es el número de estudiantes que estudia música dividido por el número total de estudiantes encuestados o $P(M)=\frac{n(M)}{140}=\frac{37}{140} \thickapprox 0.264$ .

b. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar estudie música cuando se ha establecido que él o ella práctica un deporte se llama probabilidad condicional. Usamos la notación $P(M|S)$ para representar el $P(M)$ dado que $S$ ya ha ocurrido. Para encontrar esta probabilidad usando un diagrama de Venn, encontramos el número de estudiantes que estudia música y practica un deporte y lo dividimos por el número de estudiantes que practica un deporte o $P(M|S)=\frac{n(M \cap S)}{n(S)}=\frac{25}{103} \thickapprox 0.243$ . Considera esto de la siguiente forma; cuando decimos que sabemos que el estudiante practica un deporte, entonces el numerador se limita a aquellos estudiantes que estudian música y practican un deporte y el denominador se limita a aquellos que practican un deporte.

También hay una fórmula para la probabilidad condicional: $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

En el contexto de nuestro problema, esto es: $P(M|S)=\frac{P(M \cap S)}{P(S)}=\frac{\frac{25}{140}}{\frac{103}{140}}=\frac{25}{140} \cdot \frac{140}{103}=\frac{25}{103}$ .

Observa que la probabilidad resultante es la misma que la determinada anteriormente. Se puede usar cualquier método.

Revisión del Problema Introductorio El diagrama de Venn para esta situación muestra 12, el número de clientes que les gustan ambos sabores, como la intersección. El número de clientes que a los que solo les gusta el sabor de Pan Integral sería, por lo tanto $32-12=20$ mientras que el número de clientes a los que solo les gusta el sabor de Algodón de Azúcar sería $58-12=46$ . Ya que hay 21 clientes que no les gusta ningún sabor, el número total de clientes encuestados es $12 + 20 + 46 + 22=100$ y la probabilidad de que uno de esos clientes elegidos al azar le guste el sabor de Algodón de Azúcar es $\frac{58}{100} = 58\%$ .

Práctica Guiada

1. En una clase de 260 estudiantes de último año, 125 estudian Español, 95 estudian Química, 165 estudian Matemáticas, 18 estudian Español y Química, 75 estudian Química y Matemáticas, 20 estudian Matemáticas y Español y 15 estudian los tres ramos. Haz un diagrama de Venn para ilustrar la información y luego encuentra la probabilidad de que si un estudiante se elige al azar estudie:

a. solo Español

b. Matemáticas y Química, pero no Español

c. ninguno de estos ramos

d. Español, si ya se sabe que él o ella estudia Matemáticas

2.Dados $P(A \cap B)=0.4$ , $P(A \cap B^\prime)=0.2$ y $P(A^\prime \cap B^\prime)=0.3$ , encuentra $P(B)$ y $P(A|B)$ .

Respuestas

a. $P(S \cap M^\prime \cap C^\prime)=\frac{70}{260}=\frac{7}{26} \thickapprox 0.269$

b. $P(M \cap C \cap S^\prime)=\frac{60}{260}=\frac{3}{13} \thickapprox 0.231$

c. $P(M^\prime \cap C^\prime \cap S^\prime)=\frac{5}{260}=\frac{1}{52} \thickapprox 0.0192$

d. $P(S|M)=\frac{P(S \cap M)}{P(M)}=\frac{\frac{20}{260}}{\frac{165}{260}}=\frac{4}{33} \thickapprox 0.121$

2. La información nos da el diagrama de Venn:

El valor perdido, $P(B \cap A^\prime)$ , debe ser 0,1 para que el total de las probabilidades en el espacio muestral sea igual a 1. Por lo que $P(B)=0.5$ . $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{0.4}{0.5}=\frac{4}{5}=0.8$ .

Práctica

Para las preguntas 1 a la 3, encuentra las probabilidades indicadas, dados $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.65$ y $P(A \cup B)=0.75$ .

$P(A \cap B)$
$P(A^\prime \cap B^\prime)$
$P(B|A)$

Para las preguntas 1 a la 3, encuentra las probabilidades indicadas, dados $P(A)=0.6$ , $P(B)=0.8$ y $P(A \cup B)^\prime=0.2$ .

$P(A \cap B^\prime)$
$P(B|A)$
$P(A|B)$

Para las preguntas 7 a la 9, encuentra las probabilidades indicadas, dados $P(A \cap B^\prime)=0.3$ , $P(B \cap A^\prime)=0.2$ y $P(A \cup B)=0.8$ .

$P(A \cap B)$
$P(A)$
$P(B|A)$
Dados $P(A)=2P(B)$ , $P(A \cup B)=0.8$ y $P(A \cap B)=0.1$ , encuentra $P(A)$ .
El club internacional de una escuela tiene 105 miembros. Varios de ellos hablan múltiples idiomas. Los idiomas más comunes que se hablan en el club son inglés, español y chino. Usa el Diagrama de Venn siguiente para determinar la probabilidad de seleccionar un estudiante que
1. no hable inglés.
2. hable español, si se sabe que él o ella habla inglés.
3. hable inglés, si se sabe que él o ella habla chino.
4. hable español e inglés, pero no chino.

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