Eventos Independientes, Condicionales y Mutuamente Excluyentes

En esta sección, definirás y aplicarás las fórmulas adecuadas para determinar las probabilidades de eventos combinados que sean Independientes, Condicionales o Mutuamente Excluyentes.

El Puesto de Helados "Freezy" no cree tener la información suficiente para decidir si debería añadir los sabores Pan Integral y Algodón de Azúcar a su menú. Por lo tanto, lleva a cabo otro sondeo entre sus clientes. Se entera de que la probabilidad de que a un cliente le gusten ambos sabores es 0,33 y la probabilidad de que a un cliente le guste el sabor Algodón de Azúcar es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que a un cliente le guste el sabor Pan Integral?

Orientación

Ya hemos abordado la fórmula para las probabilidades condicionales: $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . Estos eventos no son independientes; son condicionales porque el resultado del evento $B$ afecta el resultado del evento $A$ . Cuando los eventos son independientes $P(A|B)=P(A)$ , que significa que no importa si el evento $B$ ha ocurrido, el resultado del evento $B$ no afecta el resultado del evento $A$ . no afecta el resultado del evento $P(A|B)$ con $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ en el planteamiento anterior para obtener $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=P(A)$ . Finalmente, multiplica ambos lados por $P(B)$ para obtener $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ para los eventos independientes $A$ y $B$ . Podemos usar esta regla para determinar si los eventos son independientes o para encontrar la intersección de eventos independientes conocidos.

También es posible que dos eventos no tengan intersección o $P(A \cap B)=0$ . Cuando esto ocurre, decimos que los eventos (o conjuntos) son Mutuamente Excluyentes. Si uno ha ocurrido, entonces el otro no puede ocurrir. Algunos ejemplos de conjuntos Mutuamente Excluyentes son hombres y mujeres, estudiantes de último año y estudiantes de primer año. No es posible ser ambos. Es importante observar que los eventos mutuamente excluyentes no pueden ser independientes al menos que la probabilidad de uno de los eventos sea cero, ya que los eventos independientes $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ y la única forma de que un producto pueda ser igual a cero es si uno de los factores es igual a cero.

Ejemplo A

Dados dos eventos, $A$ y $B$ , se dice $P(A)=0.3$ , $P(B)=0.5$ y $P(A \cup B)=0.65$

a. Encuentra $P(A \cap B)$ .

b. Responde, con razones, si los eventos son independientes.

c. Responde, con razones, si los eventos son mutuamente excluyentes.

Solución:

a. Ya que se ha informado si los eventos son independientes, no sabemos que $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ . Sin embargo, para todos los eventos, independientes u otros, es cierto que $P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A \cup B)$ así que

$0.3+0.5-P(A \cap B)&=0.65 \\\P(A \cap B)&=0.15$

b. Para determinar si los eventos son independientes, probaremos la regla $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)$ .

$P(A) \times P(B)=0.3 \times 0.5=0.15=P(A \cap B).$

Por esto, los eventos son independientes ya que el producto de sus probabilidades es igual a la probabilidad de su intersección.

c. Los eventos no son mutuamente excluyentes porque $P(A \cap B)=0.15 \ne 0$ .

Ejemplo B

Dado que $A$ y $B$ son eventos independientes, por lo que $P(A)=0.4$ y $P(A \cup B)=0.76$ , Encuentra

a. $P(B)$

b. Probabilidad de $A$ o $B$ pero no de que ambos ocurran.

Solución:

a. Ya que sabemos que los dos eventos son independientes, sabemos que $P(A \cap B)=0.4 P(B)$ . Ahora, podemos usas la fórmula para la probabilidad de la unión de los dos conjuntos y sustituir este producto por la probabilidad de la intersección:

$0.4+P(B)-0.4 P(B)&=0.76 \\\0.6 P(B)&=0.36 \\\P(B)&=0.6$

b. Para encontrar la probabilidad de que $A$ o $B$ ocurran, pero no ambos, necesitamos encontrar $P(A \cap B)$ y restarlo de $P(A \cup B)$ .

$0.76-(0.4)(0.6)=0.76-0.24=0.52$

Ejemplo C

Los eventos $A$ y $B$ son independientes, por lo que $P(B \cap A^\prime)=0.2$ y $P(A \cap B)=0.3$ . Encuentra $P(A \cup B)$ .

Solución: Para este problema, un diagrama de Venn podría ser útil para ilustrar la información dada.

A partir del diagrama podemos ver que $P(B)=0.5$ y ya que sabemos que los eventos son independientes, sabemos que:

$P(A) \times P(B)&=P(A \cap B) \\\P(A) \times 0.5&=0.3 \\\P(A)&=\frac{0.3}{0.5}=0.6$

Ahora, $P(A \cup B)=0.6+0.5-0.3=0.8$ .

Revisión del Problema Introductorio Ya que sabemos que el gusto por el sabor Pan Integral (B) y el gusto por el sabor Algodón de Azúcar (A) son eventos independientes, también sabemos que $P(A \cap B)=0.33 P(B)$ . Ahora, podemos usar esta fórmula para la probabilidad de la intersección de los dos conjuntos para encontrar la información que estamos buscando.

$0.33=0.8 P(B) \\\P(B)&=0.4125$

Por lo tanto, la probabilidad de que a un cliente le guste el sabor Algodón de Azúcar es 41,25%.

Práctica Guiada

1. Dados dos eventos, $A$ y $B$ , de tal forma que $P(A)=0.4$ , $P(B)=0.5$ y $P(A \cup B)=0.75$

a. Encuentra $P(A \cap B)$ .

b. Responde, con razones, si los eventos son independientes.

c. Encuentra $P(A|B)$ .

2. Dado que $A$ y $B$ son eventos independientes, por lo que $P(A)=0.8$ y $P(A \cup B)=0.9$ , Encuentra

a. $P(B)$

b. $P(B \cap A^\prime)$

3. Los eventos $A$ y $B$ son independientes, por lo que $P(A \cap B^\prime)=0.25$ y $P(A \cap B)=0.25$ . Encuentra $P(A \cup B)$ .

Respuestas

1. a. $0.4+0.5-P(A \cap B)&=0.75 \\\P(A \cap B)&=0.15$

b. Si los eventos son independientes, $P(A \cap B)=0.4 \times 0.5=0.2$ .

Ya que $0.2 \ne 0.15$ ,los eventos no son independientes.

c. $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{0.15}{0.5}=0.3$ .

2. a. $0.8+P(B)-0.8 P(B)&=0.9 \\\0.2 P(B)&=0.1 \\\P(B)&=0.5$

b. $P(B \cap A^\prime)=P(B)-P(B \cap A)=0.5-0.8 \times 0.5=0.1$

3. $P(A)=P(A \cap B^\prime)+P(A \cap B)=0.25+0.25=0.5$

$P(A \cap B)=0.5 P(B)=0.25$ y, por lo tanto $P(B)=0.5$

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0.5+0.5-0.25=0.75$

Vocabulario

Mutuamente Excluyente: Dos o más conjuntos que no tienen elementos en común o en los cuales no existe la intersección. En el caso de la probabilidad, estos serían eventos en los que si uno ocurre, el otro no puede ocurrir.

Práctica

Los eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes. Describe $P(A|B)$ .
Los eventos $A$ y $B$ son independientes. Demuestra que $P(B)=P(B|A)$ .

Para los problemas 3 al 7, usa la información dada acerca de los eventos $A$ y $B$ para determinar si los eventos son independientes o no.

$P(A)=0.6$ , $P(B)=0.4$ y $P(A \cup B)=0.76$
$P(A)=0.5$ , $P(A \cap B)=0.2$ y $P(A \cup B)=0.8$
$P(A)=0.3$ , $P(B)=0.4$ y $P(A \cup B)=0.55$
$P(A)=0.6$ , $P(B \cap A^\prime)=0.28$ y $P(A \cap B)=0.42$

Para los problemas 7 al 10, los eventos $A$ y $B$ son independientes.

Dados $P(A)=0.8$ y $P(A \cup B)=0.88$ , encuentra $P(B)$ y $P(A \ or \ B \ \text{but not both})$ .
Dados $P(A \cap B^\prime)=0.54$ y $P(A \cap B)=0.36$ , encuentra $P(B)$ y $P(A \cup B)$ .
Dados $P(B)=0.8$ y $P(A^\prime \cap B^\prime)=0.04$ , encuentra $P(A)$ y $P(A^\prime \cup B^\prime)$ .
$P(A \cap B)=0.28$ y $P(A \cup B)=0.82$ , encuentra $P(A)$ y $P(B)$ .