Teorema de Pitágoras y su Conversión

En esta sección, descubrirás, comprobarás y aplicarás el Teorema de Pitágoras para calcular los lados desconocidos de triángulos rectángulos y comprobar si los triángulos son triángulos rectángulos.

El señor Aubel quiere acordonar la mitad de su terreno de jardín rectangular para mantener a los ciervos alejados. Acordonará por afuera del jardín y de forma diagonal hacia el centro lo que formará un triángulo rectángulo. El jardín mide 5 yardas por 8 yardas. ¿Cuántas yardas de cuerda necesita el señor Aubel?

Orientación

El Teorema de Pitágoras hace referencia a la relación entre las medidas de los tres lados en un triángulo rectángulo. Establece que si $a$ y $b$ son los catetos de un triángulo rectángulo y $c$ es la hipotenusa, entonces $a^2+b^2=c^2$ . Por ejemplo, las medidas 3, 4, y 5 son los lados de un triángulo rectángulo porque $3^2+4^2=5^2 (9+16 = 25)$ . Recuerda que $c$ es siempre el lado más largo.

Lo mismo sucede en el sentido inverso. Si, en un triángulo, $c$ es la medida del lado más largo y los lados de menor medida son $a$ y $b$ , y $a^2+b^2=c^2$ , entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Demostrar un Teorema de Pitágoras

Existen muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras y aquí presentamos algunas. Usaremos el concepto de que el área de una figura es igual a la suma de las áreas de figuras más pequeñas que están contenidas dentro y lo derivaremos algebraicamente al Teorema de Pitágoras.

Usando la siguiente figura (un cuadrado con un cuadrado más pequeño adentro), primero escribe dos ecuaciones para su área, una usando las medidas de los lados del cuadrado exterior y la otra usando la suma de las áreas del cuadrado más pequeño y los cuatro triángulos.

Área 1: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Área 2: $c^2+4 \left(\frac{1}{2} ab \right)=c^2+2ab$

Ahora, iguala las dos áreas y simplifica:

$a^2+2ab+b^2&=c^2+2ab\\\a^2+b^2&=c^2$

Ejemplo A

En un triángulo rectángulo $a=7$ y $c=25$ , encuentra la medida del tercer lado.

Solución: Podemos empezar sustituyendo lo que conocemos hacia el Teorema de Pitágoras y entonces calcular el lado que no conocemos, $b$ :

$7^2+b^2 &=25^2 \\\49+b^2 &=625 \\\b^2 &=576 \\\b &=24$

Ejemplo B

Encuentra la medida del tercer lado del siguiente triángulo. Escribe tu respuesta en la forma radical simplificada.

Solución: Ya que conocemos las medidas de los dos catetos, podemos insertarlos en el Teorema de Pitágoras y encontrar la medida de la hipotenusa.

$8^2+12^2 &=c^2 \\\64+144 &=c^2 \\\c^2 &=208 \\\c &=\sqrt{208}=\sqrt{16 \cdot 13}=4\sqrt{13}$

Ejemplo C

Determina si un triángulo cuyas medidas son 21, 28, 35 es un triángulo rectángulo.

Solución: Necesitamos ver si estos valores cumplirán $a^2+b^2=c^2$ . Si es así, entonces se forma un triángulo rectángulo. Entonces,

$21^2+28^2 &=441+784=1225 \\\35^2 &=1225$

Si, se cumple el Teorema de Pitágoras por estas medidas y el triángulo rectángulo se forma por las medidas 21, 28 y 35.

Revisión del Problema Conceptual

Buscamos el perímetro del triángulo. Sabemos las medidas de los lados, entonces necesitamos encontrar la hipotenusa.

Usemos el Teorema de Pitágoras.

$5^2 + 8^2 = c^2\\\25 + 64 = c^2\\\89 = c^2\\\c = \sqrt {89}$

Ahora para encontrar el perímetro del triángulo, añade las medidas de los tres lados.

$5 + 8 + \sqrt{89} = 22.43$

Por lo tanto, el señor Aubel necesitará 23 yardas de cuerda.

Práctica Guiada

Para los dos lados conocidos, determina la medida del tercer lado si el triángulo es un triángulo rectángulo.

1. $a=10$ y $b=5$

2. $a=5$ y $c=13$

Usa el Teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo rectángulo se forma por las medidas dadas.

3. 16, 30, 34

4. 9, 40, 42

5. 2, 2, 4

Respuestas

1. $\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

2. $\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$

3. $16^2+30^2 &=256+900=1156 \\\34^2 &=1156$ Si, es un triángulo rectángulo.

4. $9^2+40^2 &=81+1600=1681 \\\42^2 &=1764$ No, no es un triángulo rectángulo.

5. Este es engañoso, en un triángulo las medidas de dos lados cualesquiera deben tener una suma mayor que la medida del tercer lado. Estas medidas no cumplen con los requisitos entonces no solo no forman un triángulo rectángulo, si no que ni siquiera forman un triángulo.

Vocabulario

El Teorema de Pitágoras: Si $a$ y $b$ son los catetos de un triángulo rectángulo y $c$ es la hipotenusa, entonces, $a^2+b^2=c^2$ .

Inversión del Teorema de Pitágoras: Si $c$ es la medida del lado más largo en un triángulo y los lados de menor medida son $a$ y $b$ , y $a^2+b^2=c^2$ , entonces el triángulo es un triángulo rectángulo.

Práctica

Encuentra las medidas de los lados desconocidos para cada siguiente triángulo rectángulo.

$a=6, b=8$
$b=6, c=14$
$a=12, c=18$

Determina si los siguientes triángulos son triángulos rectángulos.

¿Forman las siguientes medidas un triángulo rectángulo? Asegúrate de que formen un triángulo.

3, 4, 5
6, 6, 11
11, 13, 17

Al General Mayor James A. Garfield (y ex presidente de EE.UU.) se le reconoce por demostrar el Teorema de Pitágoras usando un trapezoide. Sigue los pasos para recrear su demostración.

Encuentra el área de un trapezoide usando la fórmula para el área del trapezoide: $A=\frac{1}{2}(b_1+b_2)h$
Encuentra la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos en el diagrama.
Las áreas encontradas en los dos problemas anteriores deberían tener el mismo valor. Iguala las expresiones y simplifícalas para obtener el Teorema de Pitágoras.