Seno, Coseno, Tangente

En esta sección, definirás y aplicarás las razones trigonométricas seno, coseno y tangente para calcular las medidas de los lados desconocidos en triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo isósceles tiene catetos que miden 4 unidades cada uno. ¿Cuál es el seno de cada ángulo agudo del triángulo?

Orientación

Las razones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente hacen referencia a las razones conocidas entre lados en particular en un triángulo rectángulo basado en una medida de un ángulo agudo.

En este triángulo, el lado $c$ es la hipotenusa.

Si consideramos que el ángulo $B$ , entonces podemos describir cada cateto por su posición relativa al ángulo $B$ : lado $a$ es adyacente a $B$ ; lado $b$ es opuesto a $B$

Si consideramos el ángulo $A$ , entonces podemos describir cada uno de los catetos por su posición relativa al ángulo $A$ : lado $b$ es adyacente a $A$ ; lado $a$ es opuesto a $A$

Ahora podemos definir las razones trigonométricas de la siguiente forma:

$\text{{\color{red}S}ine is} \ \frac{{\color{red}o}pposite}{{\color{red}h}ypotenuse} \quad \text{{\color{red}C}osine is} \ \frac{{\color{red}a}djacent}{{\color{red}h}ypotenuse} \quad \text{{\color{red}T}angent is} \ \frac{{\color{red}o}pposite}{{\color{red}a}djacent}$

Una forma efectiva de recordar estas razones es tomar las letras rojas del cuadro anterior y escribir la frase:

$\text{{\color{red}SOH \ CAH \ TOA}}$

Ahora podemos encontrar las razones trigonométricas para cada ángulo agudo en el triángulo anterior.

$\sin A &=\frac{a}{c} \qquad \sin B=\frac{b}{c} \\\\cos A &=\frac{b}{c} \qquad \cos B=\frac{a}{c} \\\\tan A &=\frac{a}{b} \qquad \tan B=\frac{b}{a}$

Es importante entender que dada una medida de un ángulo (agudo) en particular en un triángulo rectángulo, estas razones son constantes sin importar el tamaño del triángulo. Por ejemplo; si la medida del ángulo es $25^\circ$ , entonces $\sin 25^\circ \approx 0.4226$ y la razón del lado opuesto a la hipotenusa es siempre 0.4226 sin importar el tamaño del triángulo.

Ejemplo A

Encuentra las razones trigonométricas de los ángulos agudos $R$ y $P$ en $\Delta PQR$ .

Solución: Para el ángulo $R$ , $O=8$ ; $A=15$ ; y $H=17$ . Ahora las razones trigonométricas son:

$\sin R=\frac{8}{17}; \ \cos R=\frac{15}{17}; \ \tan R=\frac{8}{15}$

Del ángulo $P$ , $O=15$ ; $A=8$ ; y $H=17$ . Ahora las razones trigonométricas son:

$\sin P=\frac{15}{17}; \ \cos P=\frac{8}{17}; \ \tan P=\frac{15}{8}$

¿Has notado patrones o similitudes entre las razones trigonométricas? Los lados opuestos y adyacentes se cambian y la hipotenusa es la misma. Observa cómo este cambio afecta a las razones:

$\sin R=\cos P \quad \cos R=\sin P \quad \tan R=\frac{1}{\tan P}$

Ejemplo B

Usa las razones trigonométricas para encontrar $x$ y $y$ .

Solución: Primero identifica o etiqueta los lados con respecto a los ángulos agudos dados. Entonces, $x$ es opuesto, $y$ es la hipotenusa (observa que es la hipotenusa porque es el lado opuesto al ángulo rectángulo, puede ser adyacente al ángulo dado pero la hipotenusa no puede ser el lado adyacente) y 6 es el lado adyacente.

Para encontrar $x$ , debemos usar la medida conocida de 6 en nuestra razón también. Entonces estamos usando el opuesto y el adyacente. Ya que la tangente es la razón del opuesto dividido por el adyacente, obtenemos:

$\tan 35^\circ &=\frac{x}{6} \\\x &=6 \tan 35^\circ \quad \text{multiply both sides by 6}\\\x & \approx 4.20 \quad \quad \quad \text{Use the calculator to evaluate-type in 6TAN(35) ENTER}$

NOTA: Asegúrate que tu calculadora esté en modo DEGREE. Para revisar, presiona el botón MODE y verifica si DEGREE está resaltado (en lugar de RADIAN). Si no está resaltado, usa las flechas para ir hasta DEGREE y presiona ENTER. El modo por defecto es RADIAN, por lo que si se resetea tu calculadora o se limpia su memoria, volverá al modo RADIAN hasta que tú lo cambies.

Para encontrar $y$ usando las razones trigonométricas y la medida dada de 6, tenemos el adyacente y la hipotenusa por lo que usaremos el coseno:

$\cos 35^\circ &=\frac{6}{y} \\\\frac{\cos 35^\circ}{1} &=\frac{6}{y} \quad \quad \quad \quad \text{set up a proportion to solve for} \ y \\\6 &= y \cos 35^\circ \quad \text{cross multiply} \\\y &=\frac{6}{\cos 35^\circ} \quad \ \text{divide by} \cos 35^\circ \\\y &=7.32 \quad \quad \ \ \text{Use the calculator to evaluate-type in 6/TAN(35) ENTER}$

Alternativamente, podemos encontrar $y$ usando el valor que encontramos para $x$ y el Teorema de Pitágoras:

$4.20^2+6^2 &=y^2 \\\53.64 &=y^2 \\\y & \approx 7.32$

La desventaja de este método es que si calculamos mal el valor de $x$ repetiremos nuestro error y será seguro que obtendremos un valor incorrecto para $y$ En general, evitarás esta clase de errores si usas la información dada siempre que sea posible.

Ejemplo C

Dado $\Delta ABC$ , con $m \angle A=90^\circ, m\angle C=20^\circ$ y $c=9$ , encuentra $a$ y $b$ .

Solución: Quienes prefieren el aprendizaje visual, pueden encontrar particularmente útil hacer un dibujo de este triángulo e insertar la información dada:

Para encontrar $a$ (la hipotenusa) podemos usar el lado opuesto y la razón del seno: $\sin 20^\circ=\frac{9}{a}$ , resolviendo como lo hicimos en el ejemplo B obtenemos $a=\frac{9}{\sin 20^\circ} \approx 26.31$ Para encontrar $b$ (el lado adyacente) podemos usar el lado opuesto y la razón de la tangente: $\tan 20^\circ=\frac{9}{b}$ , calculando $b$ obtenemos $b=\frac{9}{\tan 20^\circ} \approx 24.73$ .

Revisión del Problema Conceptual Si dibujas el triángulo descrito en este problema, verás que el seno $\frac {opposite}{hypotenuse}$ de cada ángulo agudo es el mismo. Esto es $\frac{4}{hypotenuse}$ . Entonces necesitamos encontrar la hipotenusa.

Usemos el Teorema de Pitágoras.

$4^2 + 4^2 = c^2\\\16 + 16 = c^2\\\32 = c^2\\\c = 4\sqrt{2}$

Por lo tanto, el seno de ambos ángulos agudos es $\frac{4}{4\sqrt{2}}$ o $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Práctica Guiada

1. Usa las razones trigonométricas para encontrar $x$ y $y$ :

2. Dado $\Delta ABC$ con $m \angle B=90^\circ, m \angle A=43^\circ$ y $a=7$ , encuentra $b$ y $c$ .

3. La base de un resbalín de un parque infantil es de 6 pies desde la base de la plataforma y el resbalín hacen un ángulo de $60^\circ$ con el suelo. Aproximándolo a la decena de pie más cercana, ¿Qué tan alta es la plataforma en el punto más alto del resbalín?

Respuestas

1. Para $x$ : $\cos 62^\circ &=\frac{5}{x} \\\x &=\frac{5}{\cos 62^\circ} \approx 10.65$

Para $y$ : $\tan 62^\circ &=\frac{y}{5} \\\y &=5 \tan 62^\circ \approx 9.40$

2. Para $b$ : $\sin 43^\circ &=\frac{7}{b} \\\b &=\frac{7}{\sin 43^\circ} \approx 10.26$

Para $c$ : $\tan 43^\circ &=\frac{7}{c} \\\c &=\frac{7}{\tan 43^\circ} \approx 7.51$

3. $\tan 60^\circ &=\frac{h}{6}\\\h &=6 \tan 60^\circ \approx 10.39$ , entonces la altura de la plataforma es de 10,4 pies.

Vocabulario

Seno: La razón trigonométrica entre el lado opuesto de un ángulo agudo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Coseno: La razón trigonométrica entre el lado adyacente de un ángulo agudo y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Tangente: La razón trigonométrica entre el lado opuesto de un ángulo agudo y el lado adyacente en un triángulo rectángulo.

Práctica

Usa tu calculadora para encontrar las siguientes razones trigonométricas. Escribe tus respuestas hasta el cuarto decimal.

$\sin 35^\circ$
$\tan 72^\circ$
$\cos 48^\circ$
$\tan 45^\circ$
$\sin 30^\circ$
$\cos 88^\circ$
Escribe las tres razones trigonométricas de cada uno de los ángulos agudos en el siguiente triángulo.

Usa las razones trigonométricas para encontrar la medida de los lados desconocidos en los siguientes triángulos. Aproxima tus respuestas al centenar más cercano.

Para los problemas 11-13 usa la información dada sobre $\Delta ABC$ con el ángulo recto $B$ para encontrar las medidas desconocidas de los lados. Aproxima tu respuesta al centenar más cercano.

$a=12$ y $m \angle A=43^\circ$
$m \angle C=75^\circ$ y $b=24$
$c=7$ y $m \angle A=65^\circ$
14. Una rampa necesita tener un ángulo de elevación no mayor a 10 grados. Si la puerta está 3 pies sobre el nivel de la vereda, ¿Cuál es la medida mínima posible de la rampa? Aproxima tu respuesta a la decena de pie más cercana?
Un barco, el, Sea Dancer , stá 10 km al este de un faro. Otro barco, el, Nelly , está al norte del faro. Un observador en el Sea Dancer calcula que el ángulo entre el Nelly y el faro es de $38^\circ$ . iquest;Qué tan lejos están los dos barcos? Aproxima tu respuesta a la decena de kilómetro más cercana?

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