Funciones Trigonométricas Inversas y Resolver Triángulos Rectángulos

En esta sección, usarás las funciones trigonométricas inversas para encontrar la medida de ángulos agudos desconocidos en triángulos rectángulos y resolverás triángulos rectángulos.

Un triángulo rectángulo tiene catetos que miden 2 unidades y $2\sqrt{3}$ unidades. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos agudos del triángulo?

Orientación

En la sección anterior usamos las funciones trigonométricas de seno, coseno y tangente para encontrar la razón de lados específicos en un triángulo rectángulo dado un ángulo. En esta sección usaremos los inversos de estas funciones, $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ y $\tan^{-1}$ , para encontrar la medida del ángulo cuando la razón de las medidas de los lados es desconocido. Cuando escribimos $\sin 30^\circ$ en la calculadora, esta busca en una tabla y encuentra la razón trigonométrica asociada con $30^\circ$ , la cual es $\frac{1}{2}$ . Cuando usamos una función inversa le decimos a la calculadora que busque la razón y nos dé la medida del ángulo. Por ejemplo: $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2} \right)=30^\circ$ . Presiona $2^{ND} \text{SIN}$ para obtener $\text{SIN}^{-1}($ y entonces escribe $\frac{1}{2}$ , cierra el paréntesis y presiona ENTER. En la pantalla debería decir $\text{SIN}^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)$ cuando presiones ENTER.

Ejemplo A

Encuentra la medida del ángulo $A$ asociado con las siguientes razones. Aproxima tus respuestas al grado más cercano.

$\sin A=0.8336$
$\tan A=1.3527$
$\cos A=0.2785$

Solución: Usando la calculadora, obtenemos lo siguiente:

$\sin^{-1} (0.8336) \approx 56^\circ$
$\tan^{-1} (1.3527) \approx 54^\circ$
$\cos^{-1} (0.2785) \approx 74^\circ$

Ejemplo B

Encuentra las medidas de los ángulos desconocidos en el siguiente triángulo. Aproxima tus respuestas al grado más cercano.

Solución: Podemos calcular $x$ o $y$ primero. Si elegimos calcular primero $x$ 23 es el opuesto y 31 el adyacente entonces usaremos la razón de la tangente.

$x=\tan^{-1} \left(\frac{23}{31} \right) \approx 37^\circ.$

Recuerda que en un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son siempre complementarios, entonces $90^\circ-37^\circ=53^\circ$ , entonces $y=53^\circ$ . Podemos también usar las medidas de los lados y una razón trigonométrica para calcular $y$ :

$y=\tan^{-1} \left(\frac{31}{23} \right) \approx 53^\circ.$

Ejemplo C

Resuelve el siguiente triángulo rectángulo. Aproxima tus respuestas a la decena más cercana.

Solución: Primero, podemos calcular ángulo $A$ o el ángulo $B$ Si decidimos calcular primero el ángulo $B$ entonces 8 es la hipotenusa y 5 es la medida del lado opuesto entonces usaremos la razón del seno.

$\sin B &=\frac{5}{8} \\\m \angle B &=\sin^{-1} \left(\frac{5}{8} \right) \approx 38.7^\circ$

Ahora podemos encontrar $A$ de dos formas diferentes.

Método 1: Podemos usar trigonometría y la razón del coseno: $\cos A &=\frac{5}{8} \\\m \angle A &=\cos^{-1} \left(\frac{5}{8} \right) \approx 51.3^\circ$

Método 2: Podemos sustraer $m \angle B$ de $90^\circ$ : $90^\circ-38.7^\circ=51.3^\circ$ ya que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son siempre complementarios.

Cualquier método es válido, pero ten cuidado con el método 2 porque un error de cálculo del ángulo $B$ puede hacer que toda la medida que obtienes para el ángulo $A$ esté incorrecta.

Revisión del Problema Conceptual

Primero, encontremos la hipotenusa, entonces podemos calcular cualquier ángulo.

$2^2 + (2\sqrt{3})^ = c^2\\\4 + 12 = c^2\\\16 = c^2\\\c = 4$

Uno de los ángulos agudos tendrá un seno de $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

$\sin A &=\frac{1}{2} \\\m \angle A &=\sin^{-1} \frac{1}{2}= 30^\circ$

Ahora podemos encontrar $B$ sustrayendo $m \angle A$ de $90^\circ$ : $90^\circ-30^\circ=60^\circ$ ya que los ángulos agudos en un triángulo rectángulo son siempre complementarios.

Práctica Guiada

1. Encuentra la medida del ángulo $A$ dadas las razones trigonométricas. Aproxima tu respuesta al grado más cercano.

a. $\sin A=0.2894$

b. $\tan A=2.1432$

c. $\cos A=0.8911$

2. Encuentra las medidas de los ángulos desconocidos en el siguiente triángulo. Aproxima tus respuestas al grado más cercano.

3. Resuelve el triángulo. Aproxima las medidas de los lados a la decena más cercana y los ángulos al grado más cercano.

Respuestas

1. a. $\sin^{-1} (0.2894) \approx 17^\circ$

b. $\tan^{-1} (2.1432) \approx 65^\circ$

c. $\cos^{-1} (0.8911) \approx 27^\circ$

2. $x=\cos^{-1} \left(\frac{13}{20} \right) \approx 49^\circ; \quad y=\sin^{-1} \left(\frac{13}{20} \right) \approx 41^\circ$

3. $m \angle A=\cos^{-1} \left(\frac{17}{38} \right) \approx 63^\circ; \quad m \angle B=\sin^{-1} \left(\frac{17}{38} \right) \approx 27^\circ; \quad a=\sqrt{38^2-17^2} \approx 34.0$

Práctica

Usa tu calculadora para encontrar la medida del ángulo $B$ . Aproxima tus respuestas al grado más cercano.

$\tan B=0.9523$
$\sin B=0.8659$
$\cos B=0.1568$
$\sin B=0.2234$
$\cos B=0.4855$
$\tan B=0.3649$

Encuentra las medidas de los ángulos agudos desconocidos. Aproxima las medidas al grado más cercano.

Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. Aproxima las medidas de los ángulos al grado más cercano y las medidas de los lados a la decena más cercana.

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