Problemas de Aplicación

En esta sección, usarás el Teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas para resolver problemas de aplicación de la vida cotidiana.

Un árbol de 40 pies de alto proyecta una sombra de 80 pies. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde el final de la sombra hasta la parte más alta del árbol con respecto al suelo?

Orientación

Cuando resolvemos problemas verbales, es importante entender la terminología que se usa para describir ángulos. En problemas trigonométricos, los términos ángulo de elevación y ángulo de depresión se usan comúnmente. Ambos ángulos siempre se miden a partir de una línea horizontal como se muestra en los siguientes diagramas.

Ejemplo A

Un avión que se aproxima a un aeropuerto observa la pista a un ángulo de depresión de $25^\circ$ . Si el avión está a una altura de 15.000 pies, ¿Qué tan lejos (distancia del suelo) está el avión de la pista? Aproxima tu respuesta al centenar de pies más cercano.

Solución: Haz un diagrama para ilustrar la situación descrita y entonces usa una razón trigonométrica para resolver el problema. Recuerda que un ángulo de depresión está bajo una línea horizontal de visión (en este caso una línea horizontal a partir del piloto del avión paralelo al suelo.

Observa que el ángulo de depresión y el ángulo interior alterno serán congruentes, entonces el ángulo en el triángulo también es $25^\circ$ .

Del dibujo, podemos ver que deberíamos usar la razón de la tangente para encontrar la distancia del suelo.

$\tan 25^\circ &=\frac{15000}{d} \\\d &=\frac{15000}{\tan 25^\circ} \approx 32,200 \ ft$

Ejemplo B

Rachel observa un pájaro en un árbol a un ángulo de elevación de $30^\circ$ . Si Rachel se encuentra a 20 pies desde la base del árbol ¿Qué tan alto está el pájaro en el árbol? Aproxima tu respuesta a la decena de pie más cercana.

Solución: Haz un diagrama para ilustrar la situación. Recuerda que habrá un triángulo rectángulo y que el ángulo recto se forma por el suelo y el tronco del árbol.

En esta sección, podemos usar la razón de la tangente para calcular a qué altura está el pájaro

$\tan 30^\circ &=\frac{h}{20} \\\h &=20 \tan 30^\circ \approx 11.5 \ ft$

Ejemplo C

Una escalera de 12 pies está apoyada en una casa y el punto de apoyo alcanza 10 pies de altura. Aproximando al grado más cercano, ¿Cuál es el ángulo que forma la escalera con el suelo?

Solución: En este problema, necesitaremos encontrar un ángulo. Dibujando el triángulo podemos ver qué razón trigonométrica inversa usar.

$\sin x^\circ &=\frac{10}{12} \\\\sin^{-1} \left(\frac{10}{12} \right) & \approx 56^\circ$

Revisión del Problema Conceptual Si ilustras esta situación, verás que estamos trabajando con triángulo rectángulo. El lado opuesto al ángulo de elevación es 40. El lado adyacente al ángulo es 80. Por lo tanto, podemos usar la tangente para encontrar el ángulo de elevación.

$\tan x^\circ &=\frac{40}{80} = \frac{1}{2} \\\\tan^{-1}(\frac{1}{2}) = \approx 26.57^\circ$

Práctica Guiada

Usa la trigonometría para resolver los siguientes problemas de aplicación.

1. Una rampa hace un ángulo de $20^\circ$ con el suelo. Si la puerta a la que la rampa lleva está a 2 pies sobre el suelo, ¿Qué tan larga es la rampa? Aproxima tu respuesta a la decena de pie más cercana.

2. Charlie está haciendo volar su cometa dándole 90 pies de hilo. Si el ángulo de elevación del hilo es de $70^\circ$ , ¿Qué tan alta está la cometa? Aproxima tu respuesta al pie más cercano.

3. El sonar de una nave revela los restos de un barco a un ángulo de depresión de $32^\circ$ . Si la profundidad del océano es de aproximadamente 250 pies, ¿Qué tan lejos están los restos (medido a lo largo de la superficie del agua) de la nave? Aproxima tu respuesta al pie más cercano.

Respuestas

1. $\sin 20^\circ &=\frac{2}{x} \\\x &=\frac{2}{\sin 20^\circ} \approx 5.8 \ ft$

2. $\sin 70^\circ &=\frac{x}{90} \\\x &=90 \sin 70^\circ \approx 85 \ ft$

3. $\tan 32^\circ &=\frac{250}{x} \\\x &=\frac{250}{\tan 32^\circ} \approx 400 \ ft$

Vocabulario

Ángulo de Elevación: Un ángulo medido por sobre una línea horizontal.

Ángulo de Depresión: Un ángulo medido por debajo de una línea horizontal.

Práctica

Usa el Teorema de Pitágoras y/o trigonometría para resolver los siguientes problemas verbales.

Un cuadrado tiene lados de 8 pulgadas de longitud. ¿Cuál es la medida de su diagonal? Aproxima tu respuesta a la decena de pulgada más cercana?
Layne observa un velero desde su balcón ubicado en el quinto piso, cerca de 25 m sobre la playa, a un ángulo de depresión de $3^\circ$ . Aproximando al metro más cercano, ¿Qué tan lejos está el velero?
Una tirolina (canopy) lleva pasajeros en un recorrido de 200 m desde la altura de los árboles hasta una plataforma ubicada al nivel del suelo. Si el ángulo de elevación de la tirolina es de $10^\circ$ , ¿A qué altura del suelo está la plataforma de inicio ubicada en los árboles? Aproxima tu respuesta al metro más cercano.
El ángulo de depresión desde el punto más alto de un departamento hasta la base de una fuente en un parque cercano es de $57^\circ$ . Si la altura del edificio es de 150 pies, ¿Qué tan lejos está la fuente? Aproxima tu respuesta al pie más cercano?
La plataforma de un resbalín de un parque infantil está a 6 pies sobre el suelo. Si el largo del balancín es de 8 pies y el término de este está 1 pie sobre el suelo, ¿Cuál es el ángulo que hace el resbalín con el suelo? Aproxima tu respuesta al grado más cercano.
Benjamín observa directamente un árbol al otro lado del río desde donde él está. Entonces camina 27 pies río arriba y determina que el ángulo entre su posición anterior y el árbol al otro lado del río es de $73^\circ$ . ¿Qué tan ancho es el río? Aproxima tu respuesta al pie más cercano?
Los lados de un rectángulo miden 6 y 10 pulgadas. Aproximando al grado más cercano, ¿Cuál es ángulo que hace la diagonal con el lado más largo?
Tommy está elevando su cometa y se da cuenta que ha dado la totalidad de los 130 pies del hilo. El ángulo que hace su hilo con el suelo es de $48^\circ$ . ¿Qué tan alta está su cometa en este momento? Aproxima tu respuesta al pie más cercano?
Un rayo cae sobre un árbol haciendo que caiga y que forme triángulo con el suelo. La punta del árbol hace un ángulo de $18^\circ$ con el suelo a 21 pies desde la base del árbol. ¿Cuál era la altura del árbol? Aproxima tu respuesta al pie más cercano?
Durante el descenso un avión está a 19.000 pies sobre el suelo. La altura de la torre de control es de 190 pies. Se determina que el ángulo de elevación desde el punto más alto de la torre hacia el avión es de $15^\circ$ . Aproximando a la milla más cercana, encuentre la distancia del suelo desde el avión hacia la torre.
¿Por qué las razones del seno y el coseno siempre serán menores que 1?

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