Introducción a los Ángulos de Rotación, Ángulos Co-terminales, y Ángulos de Referencia

En esta sección, aprenderás sobre el concepto de un ángulo de rotación en el plano cartesiano, identificarás ángulos co-terminales y de referencia, y encontrarás razones trigonométricas para cualquier medida de un ángulo.

¿En cuál cuadrante se ubica el lado terminal del ángulo $-500^\circ$ y cuál es el ángulo de referencia para este ángulo?

Orientación

Los ángulos de rotación se forman en el plano cartesiano entre el eje positivo $x$ - (lado inicial) y un rayo (lado termina) . Las medidas de ángulos positivos representan una rotación en contra del sentido del reloj mientras que los ángulos negativos indican una rotación en sentido del reloj.

Ya que los ejes $x$ e $y$ son perpendiculares, entonces cada eje representa un incremento de noventa grados de rotación. Los siguientes diagramas muestran una variedad de ángulos que se forman rotando un rayo a través de los cuadrantes del plano cartesiano.

Un ángulo de rotación se puede describir en una cantidad infinita de formas. Se puede describir por un ángulo de rotación positivo o negativo o haciendo múltiples rotaciones circulares completas a través de $360^\circ$ . El siguiente ejemplo ilustra este concepto.

Para el ángulo $525^\circ$ , se hace una rotación completa de $360^\circ$ y continuamos haciendo otro de $165^\circ$ a $525^\circ$ . Por lo tanto, el ángulo resultante es equivalente a $525^\circ - 360^\circ$ , o $165^\circ$ . En otras palabras, el lado terminal está en la misma ubicación que el lado terminal para un ángulo de $165^\circ$ . Si sustraemos otra vez $360^\circ$ obtenemos un ángulo negativo, $-195^\circ$ . Ya que todos comparten el mismo lado terminal, se llaman ángulos co-terminales .

Ejemplo A

Determina dos ángulos co-terminales a $837^\circ$ , uno positivo y uno negativo.

Solución: Para encontrar ángulos co-terminales simplemente añadimos o sustraemos $360^\circ$ varias veces para obtener los ángulos deseados. $837^\circ - 360^\circ = 477^\circ$ , entonces tenemos un ángulo co-terminal positivo. Ahora podemos sustraer $360^\circ$ otra vez para obtener $477^\circ - 360^\circ=117^\circ$ .

Mas Orientación

Un ángulo de referencia es el ángulo agudo entre el lado terminal de un ángulo y el eje $x$ – El siguiente diagrama muestra los ángulos de referencia para los lados terminales de ángulos en cada uno de los cuatro cuadrantes.

NOTA: Un ángulo de referencia nunca se determina por el ángulo entre el lado terminal y el eje $y$ – Este es un error común entre los estudiantes, especialmente cuando el lado terminal parece estar más cerca al eje $y$ – que al eje $x$ –.

Ejemplo B

Determina el cuadrante en el que se ubica $-745^\circ$ y luego determina el ángulo de referencia.

Solución: Ya que nuestro ángulo es mayor que una rotación, necesitamos añadir $360^\circ$ hasta obtener un ángulo cuyo valor absoluto sea menor a $360^\circ$ : $-745^\circ + 360^\circ = -385^\circ$ , otra vez $-385^\circ + 360^\circ = -25^\circ$ .

Ahora podemos trazar el ángulo y determinar el ángulo de referencia:

Observa que el ángulo de referencia es positivo $25^\circ$ . Todos los ángulos de referencia serán positivos ya que son ángulos agudos (entre $0^\circ$ y $90^\circ$ ).

Ejemplo C

Dados dos ángulos co-terminales a $595^\circ$ , uno positivo y uno negativo, encuentra el ángulo de referencia.

Solución: Para encontrar los ángulos co-terminales podemos añadir o sustraer $360^\circ$ . En este caso, nuestro ángulo es mayor a $360^\circ$ por lo que resulta lógico sustraer $360^\circ$ para obtener un ángulo co-terminal positivo: $595^\circ - 360^\circ = 235^\circ$ . Ahora sustrae otra vez para obtener un ángulo negativo: $235^\circ - 360^\circ = -125^\circ$ .

Trazando cualquiera de estos ángulos podemos ver que el lado terminal se ubica en el tercer cuadrante como se muestra.

Ya que el lado terminal se ubica en el tercer cuadrante, necesitamos encontrar el ángulo entre $180^\circ$ y $235^\circ$ , entonces $235^\circ - 180^\circ = 55^\circ$ .

Revisión al Problema Conceptual Ya que nuestro ángulo es mayor a una rotación, necesitamos añadir $360^\circ$ hasta que obtengamos un ángulo cuyo valor absoluto sea menor a $360^\circ$ : $-500^\circ + 360^\circ = -200^\circ$ .

Si trazamos este ángulo vemos que es $-200^\circ$ en el sentido del reloj desde el origen o $160^\circ$ contrario al sentido del reloj. $160^\circ$ se ubica en el segundo cuadrante.

Ahora determina el ángulo de referencia: $180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra dos ángulos co-terminales a $138^\circ$ , uno positivo y uno negativo.

2. Encuentra el ángulo de referencia para $895^\circ$ .

3. Encuentra el ángulo de referencia para $343^\circ$ .

Respuestas

1. $138^\circ + 360^\circ = 498^\circ$ y $138^\circ - 360^\circ = -222^\circ$

2. $895^\circ - 360^\circ = 535^\circ, 535^\circ - 360^\circ = 175^\circ$ . El lado terminal se ubica en el segundo cuadrante, entonces necesitamos determinar el ángulo entre $175^\circ$ y $180^\circ$ , que es $5^\circ$ .

3. $343^\circ$ está en el cuarto cuadrante entonces necesitamos encontrar el ángulo entre $343^\circ$ y $360^\circ$ que es $17^\circ$ .

Vocabulario

Ángulo de Rotación: Un ángulo de rotación se forma en el plano cartesiano entre el eje positivo $x$ - (lado inicial) y un rayo (y un rayo) . Las medidas del ángulo positivo representan una rotación contraria al sentido del reloj mientras que los ángulos negativos indican una rotación en el sentido del reloj.

Ángulo Co-terminal: Un ángulo que tiene el mismo lado terminal e inicial que otro ángulo, pero una medida diferente.

Ángulo de Referencia: El ángulo agudo entre el lado terminal de un ángulo y el eje x –.

Práctica

Encuentra dos ángulos co-terminales para cada medida de ángulo, uno positivo y uno negativo.

$-98^\circ$
$475^\circ$
$-210^\circ$
$47^\circ$
$-1022^\circ$
$354^\circ$
$-7^\circ$

Determina en qué cuadrante se ubica el lado terminal y encuentra el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes ángulos.

$102^\circ$
$-400^\circ$
$1307^\circ$
$-820^\circ$
$304^\circ$
$251^\circ$
$-348^\circ$
Explica por qué el ángulo de referencia para un ángulo entre $0^\circ$ y $90^\circ$ es igual a sí mismo.

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