Introducción a la Circunferencia Goniométrica y la Medición del Radián

En esta sección, aprenderás acerca de la circunferencia goniométrica, los radianes y la conversión entre radianes y grados.

Una casa de forma extraña se construye a un ángulo de $135^\circ$ ¿A cuántos radianes equivale este ángulo?

Orientación

La circunferencia goniométrica es el círculo centrado al origen con radios iguales a una unidad. Esto significa que la distancia desde el origen a cualquier punto en el círculo es igual a una unidad.

Al usar la circunferencia goniométrica, podemos definir otra unidad de medida para ángulos, radianes. La medida del radián está basada en la circunferencia de la circunferencia goniométrica. La circunferencia de la circunferencia goniométrica es $2 \pi$ ( $2 \pi r$ , donde $r=1$ ). Entonces un giro completo, o $360^\circ$ , es igual a $2 \pi$ radianes. Medio giro, o $180^\circ$ es igual a $\pi$ radianes.

Un radián es igual a la medida de $\theta$ , la rotación requerida por la medida del arco interceptada por el ángulo para ser igual al radio del círculo. En otras palabras, la longitud del arco es 1 unidad para $\theta=1$ radian.

Podemos usar la igualdad, $\pi=180^\circ$ para convertir desde grados a radianes y viceversa.

Para convertir de grados a radianes, multiplicamos por $\frac{\pi}{180^\circ}$ .

Para convertir de radianes a grados, multiplicamos por $\frac{180^\circ}{\pi}$ .

Ejemplo A

a. Convierte $250^\circ$ a radianes.

b. Convierte $3 \pi$ a grados.

Solución:

a. Para convertir de grados a radianes, multiplicamos por $\frac{\pi}{180^\circ}$ . Entonces, $\frac{250 \pi}{180}=\frac{25 \pi}{18}$ .

b. Para convertir de radianes a grados, multiplicamos por $\frac{180^\circ}{\pi}$ . Entonces, $3 \pi \times \frac{180^\circ}{\pi}=3 \times 180^\circ=540^\circ$ .

Ejemplo B

Encuentra dos ángulos, uno positivo y uno negativo, co-terminales a $\frac{5 \pi}{3}$ y encuentra su ángulo de referencia en radianes.

Solución: Ya que estamos trabajando en radianes ahora añadiremos/sustraeremos múltiplos de $2 \pi$ en lugar de $360^\circ$ . Antes de que podamos añadir, debemos obtener un común denominador de 3, como se muestra a continuación.

$\frac{5 \pi}{3} + 2 \pi = \frac{5 \pi}{3} + \frac{6 \pi}{3} = \frac{11 \pi}{3} \quad and \quad \frac{5 \pi}{3} - 2 \pi = \frac{5 \pi}{3} - \frac{6 \pi}{3} =- \frac{\pi}{3}$

Ahora, para encontrar el ángulo de referencia, primero determina en qué cuadrante se ubica $\frac{5 \pi}{3}$ Si pensamos en las medidas de los ángulos en los ejes en términos de $\pi$ y más específicamente, en términos de $\frac{\pi}{3}$ , esta tarea se vuelve un poco más fácil.

Considera que $\pi$ es igual a $\frac{3 \pi}{3}$ y $2 \pi$ es igual a $\frac{6 \pi}{3}$ como se muestra en el diagrama. Ahora podemos observar que el lado terminal de $\frac{5 \pi}{3}$ se ubica en el cuarto cuadrante y así el ángulo de referencia será:

$\frac{6 \pi}{3} - \frac{5 \pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

Ejemplo C

Encuentra dos ángulos co-terminales a $\frac{7 \pi}{6}$ , uno positivo y uno negativo y encuentra su ángulo de referencia en radianes.

Solución: Esta vez añadiremos múltiplos de $2 \pi$ con un común denominador de 6, o $\frac{2 \pi}{1} \times \frac{6}{6} = \frac{12 \pi}{6}$ . Para el ángulo positivo, añadimos para obtener $\frac{7 \pi}{6} + \frac{12 \pi}{6} = \frac{19 \pi}{6}$ . Para el ángulo negativo, sustraemos para obtener $\frac{7 \pi}{6} - \frac{12 \pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ .

En este caso $\pi$ es igual a $\frac{6 \pi}{6}$ y $2 \pi$ es igual a $\frac{12 \pi}{6}$ como se muestra en el diagrama. Ahora podemos ver que el lado terminal de $\frac{7 \pi}{6}$ se ubica en el tercer cuadrante y así el ángulo de referencia será:

$\frac{7 \pi}{6} - \frac{6 \pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Revisión al Problema Conceptual

Para convertir de grados a radianes, multiplica por $\frac{\pi}{180^\circ}$ . Entonces, $\frac{135 \pi}{180}=\frac{3 \pi}{4}$ .

Práctica Guiada

1. Convierte las siguientes medidas de ángulo de grados a radianes.

a. $-45^\circ$

b. $120^\circ$

c. $330^\circ$

2. Convierte las siguientes medidas de ángulos de radianes a grados.

a. $\frac{5 \pi}{6}$

b. $\frac{13 \pi}{4}$

c. $-\frac{5 \pi}{2}$

3. Encuentra dos ángulos co-terminales a $\frac{11 \pi}{4}$ , uno positivo y uno negativo, y sus ángulos de referencia.

Respuestas

1. a. $-45^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=-\frac{\pi}{4}$

b. $120^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{2 \pi}{3}$

c. $330^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{11 \pi}{6}$

2. a. $\frac{5 \pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ$

b. $\frac{13 \pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi}=585^\circ$

c. $-\frac{5 \pi}{2} \times \frac{180^\circ}{\pi}=-450^\circ$

3. Hay varios ángulos co-terminales posibles, aquí se presentan algunas posibilidades:

Ángulo co-terminal positivo: : $\frac{11 \pi}{4} + \frac{8 \pi}{4} = \frac{19 \pi}{4}$ o $\frac{11 \pi}{4} - \frac{8 \pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$ ,

Ángulo co-terminal negativo: $\frac{11 \pi}{4} - \frac{16 \pi}{4} = -\frac{5 \pi}{4}$ o $\frac{11 \pi}{4} - \frac{24 \pi}{4} = -\frac{13 \pi}{4}$

Usando el ángulo co-terminal, $\frac{3 \pi}{4}$ , que es $\frac{\pi}{4}$ de $\frac{4 \pi}{4}$ . Entonces el lado terminal se encuentra en el segundo cuadrante y el ángulo de referencia es $\frac{\pi}{4}$ .

Vocabulario

Radian: Cuando la longitud del arco formado por un ángulo central es igual en longitud al radio del círculo.

Práctica

Para los problemas 1-5, convierte el ángulo de grados a radianes. Escribe tus respuestas en términos de $\pi$ .

$135^\circ$
$240^\circ$
$-330^\circ$
$450^\circ$
$-315^\circ$

Para los problemas 6-10, convierte la medida del ángulo de radianes a grados.

$\frac{7 \pi}{3}$
$-\frac{13 \pi}{6}$
$\frac{9 \pi}{2}$
$-\frac{3 \pi}{4}$
$\frac{5 \pi}{6}$

Para los problemas 11-15, encuentra dos ángulos co-terminales (uno positivo, uno negativo) y el ángulo de referencia para cada ángulo en radianes.

$\frac{8 \pi}{3}$
$\frac{11 \pi}{4}$
$-\frac{\pi}{6}$
$\frac{4 \pi}{3}$
$-\frac{17 \pi}{6}$

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