Razones Trigonométricas en la Circunferencia Goniométrica

En esta sección, aprenderás cómo determinar el valor exacto de razones trigonométricas para múltiplos de $0^\circ, 30^\circ$ y $45^\circ$ (o $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}$ radianes).

¿Cuáles son los valores de las siguientes funciones trigonométricas?

a. $\sin 495^\circ$

b. $\tan \frac{5\pi}{3}$

Orientación

Recuerda triángulos rectángulos especiales de Geometría. En un triángulo $(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ)$ los lados están en la razón $1:\sqrt{3}:2$ .

En un triángulo isósceles $(45^\circ - 45^\circ - 90^\circ)$ , los lados congruentes y la hipotenusa están en la razón $1:1:\sqrt{2}$ .

En un triángulo $(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ)$ los lados están en la razón $1:\sqrt{3}:2$ .

Ahora, iguala la hipotenusa a 1 en cada uno de los triángulos, entonces podremos ponerlos dentro de la circunferencia goniométrica. Usando las razones apropiadas, las nuevas longitudes de los lados son:

Usando estos triángulos, podemos evaluar el seno, el coseno y la tangente para cada una de las medidas de los ángulos.

$& \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \qquad \quad \ \ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \\\& \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \ \ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \qquad \qquad \qquad \ \ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \\\& \tan 45^\circ = 1 \qquad \quad \ \ \tan 60^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3} \qquad \quad \tan 30^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ahora estos triángulos se pueden colocar dentro de la circunferencia goniométrica.

Poniendo juntos todas las razones trigonométricas y las coordenadas de los puntos en el círculo, que representan las longitudes de los catetos de los triángulos, $(\Delta x, \Delta y)$ , podemos observar que cada punto es en realidad $(\cos \theta, \sin \theta)$ , donde $\theta$ es el ángulo de referencia. Por ejemplo, $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$ es la coordinada $y$ – del punto sobre la circunferencia goniométricas en el triángulo con el ángulo de referencia $60^\circ$ . Reflejando estos triángulos a través de los ejes y encontrando los puntos sobre los ejes, podemos encontrar las razones trigonométricas de todos los múltiplos de $0^\circ, 30^\circ$ y $45^\circ$ (o $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}$ radianes).

Ejemplo A

Encuentra $\sin \frac{3 \pi}{2}$ .

Solución: Encuentra $\frac{3 \pi}{2}$ en la circunferencia goniométrica y el punto correspondiente es $(0, -1)$ . Ya que cada punto en la circunferencia goniométrica es $(\cos \theta, \sin \theta), \sin \frac{3 \pi}{2}=-1$ .

Ejemplo B

Encuentra $\tan \frac{7 \pi}{6}$ .

Solución: Esta vez necesitamos observar la razón $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ . Podemos usar la circunferencia goniométrica para encontrar $\sin \frac{7 \pi}{6}=-\frac{1}{2}$ y $\cos \frac{7 \pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Ahora, $\tan \frac{7 \pi}{6}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Más Orientación

Otra forma de aproximarse a estos problemas de valor exacto es usar los ángulos de referencia y los triángulos rectángulos especiales. La ventaja de este método es que no es necesario memorizar toda la circunferencia goniométrica. Si memorizas los triángulos rectángulos especiales, podrás determinar los ángulos de referencia, sabrás cuando las razones son positivas y negativas y podrás unir las piezas para obtener las razones. Al observar la circunferencia goniométrica anterior, vemos que todas las razones son positivas en el Cuadrante I, el seno es la única razón positiva en el Cuadrante II, la tangente es la única razón positiva en el Cuadrante III y el coseno es la única razón positiva en el Cuadrante IV.

Recordar este diagrama te ayudará a acordarte cuando el coseno, el seno y la tangente son positivos y negativos. También puedes usar la mnemotecnia T odos los de S egundo T oman C álculo, para recordar cuál es positivo (todos los demás serán negativos) en tal cuadrante.

Las coordinadas en los vértices te ayudarán a determinar las razones para los múltiplos de $90^\circ$ o $\frac{\pi}{2}$ .

Ejemplo C

Encuentra los valores exactos para las siguientes funciones trigonométricas usando el método alternativo.

a. $\cos 120^\circ$

b. $\sin \frac{5 \pi}{3}$

c. $\tan \frac{7 \pi}{2}$

Solución:

a. Primero, necesitamos determinar en cuál cuadrante se encuentran los ángulos. Ya que $120^\circ$ está entre $90^\circ$ y $180^\circ$ estará ubicado en el Cuadrante II. Luego, debemos encontrar el ángulo de referencia. Ya que estamos en CII, sustraeremos de $180^\circ$ para obtener $60^\circ$ . Podemos usar el ángulo de referencia para encontrar la razón, $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$ . Ya que estamos en CII donde solo el seno es positivo, $\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}$ .

b. Esta vez necesitaremos trabajar en términos de radianes; sin embargo, el proceso es el mismo. El ángulo $\frac{5 \pi}{3}$ se ubica en CIV y el ángulo de referencia es $\frac{\pi}{3}$ . Esto quiere decir que nuestra razón será negativa. Ya que $\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \frac{5 \pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

c. El ángulo $\frac{7 \pi}{2}$ representa más de un giro completo y es equivalente a $2 \pi + \frac{3 \pi}{2}$ . Ya que nuestro ángulo es un múltiplo de $\frac{\pi}{2}$ estamos buscando un ángulo en el eje. En este caso, el punto es $(0, -1)$ . Debido a que $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \tan \frac{7 \pi}{2}=\frac{-1}{0}$ , cual es indefinido. Así, $\tan \frac{7 \pi}{2}$ es indifinido.

Revisión al Problema Conceptual

a. Primero, necesitamos determinar en qué cuadrante se encuentra el ángulo. Ya que $495^\circ - 360^\circ = 135^\circ$ está entre $90^\circ$ y $180^\circ$ se encontrará en el Cuadrante II. Luego, debemos encontrar el ángulo de referencia. Ya que estamos en CII, sustraeremos de $180^\circ$ para obtener $45^\circ$ . Podemos usar el ángulo de referencia para encontrar la razón, $\cos 45^\circ=\frac{\sqrt {2}}{2}$ . Ya que estamos en CII donde solo el seno es positivo, $\cos 495^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b. En el ejemplo anterior establecimos que el ángulo $\frac{5 \pi}{3}$ se encuentra en CIV y el ángulo de referencia es $\frac{\pi}{3}$ . Esto significa que la razón de la tangente será negativa. Ya que $\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, \tan \frac{5 \pi}{3}=-\sqrt{3}$ .

Práctica Guiada

Encuentra las razones trigonométricas exactas. Puedes usar cualquier método.

1. $\cos \frac{7 \pi}{3}$

2. $\tan \frac{9 \pi}{2}$

3. $\sin 405^\circ$

4. $\tan \frac{11 \pi}{6}$

5. $\cos \frac{2 \pi}{3}$

Respuestas

1. $\frac{7 \pi}{3}$ tiene un ángulo de referencia de $\frac{\pi}{3}$ en el CI. $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ y ya que el coseno es positivo en el CI, $\cos \frac{7 \pi}{3}=\frac{1}{2}$ .

2. $\frac{9 \pi}{2}$ es co-terminal a $\frac{\pi}{2}$ el cual tiene coordinadas (0, 1). Entonces $\tan \frac{9 \pi}{2}=\frac{\sin \frac{9 \pi}{2}}{\cos \frac{9 \pi}{2}}=\frac{1}{0}$ el que es indefinido.

3. $405^\circ$ tiene un ángulo de referencia de $45^\circ$ en el CI. $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$ y ya que el seno es positivo en el CI, $\sin 405^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

4. $\frac{11 \pi}{6}$ es co-terminal a $\frac{\pi}{6}$ en el CIV. $\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ y ya que la tangente es negativa en CIV, $\tan \frac{11 \pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

5. $\frac{2 \pi}{3}$ es co-terminal a $\frac{\pi}{3}$ en el CII. $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ y ya que el coseno es negativo en el CII, $\cos \frac{2 \pi}{3}=\frac{1}{2}$ .

Práctica

Encuentra los valores exactos para las siguientes funciones trigonométricas.

$\sin \frac{3 \pi}{4}$
$\cos \frac{3 \pi}{2}$
$\tan 300^\circ$
$\sin 150^\circ$
$\cos \frac{4 \pi}{3}$
$\tan \pi$
$\cos \left(-\frac{15 \pi}{4}\right)$
$\sin 225^\circ$
$\tan \frac{7 \pi}{6}$
$\sin 315^\circ$
$\cos 450^\circ$
$\sin \left(-\frac{7 \pi}{2}\right)$
$\cos \frac{17 \pi}{6}$
$\tan 270^\circ$
$\sin(-210^\circ)$

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