Funciones Trigonométricas Recíprocas

En esta sección, aprenderás sobre las razones de las razones trigonométricas recíprocas cosecante, secante y cotangente para ángulos que son múltiplos de $0^\circ, 30^\circ$ y $45^\circ$ (o $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}$ radianes) sin usar calculadora y evaluar las funciones trigonométricas recíprocas para todos los otros ángulos usando la calculadora.

Una escalera apoyada contra una casa forma un ángulo de $30^\circ$ con el suelo. ¿Cuál es la secante de este ángulo?

Orientación

Cada uno de las razones trigonométricas tiene una función recíproca asociada a esta, como se muestra a continuación.

El recíproco del seno es la cosecante: $\frac{1}{\sin \theta}=\csc \theta$ , entonces $\csc \theta=\frac{H}{O}$ (hipotenusa dividida opuesta)

El recíproco del coseno es la secante: $\frac{1}{\cos \theta}=\sec \theta$ , entonces $\sec \theta=\frac{H}{A}$ (hipotenusa divido adyacente)

El recíproco de la tangente es la cotangente: $\frac{1}{\tan \theta}=\cot \theta$ , entonces $\cot \theta=\frac{A}{O}$ (adyacente dividido opuesto)

Ejemplo A

Usa tu calculadora para evaluar $\sec \frac{2 \pi}{5}$ .

Solución: Primero, debes asegurarte que tu calculadora está en modo radian. Para comprobar o cambiar el modo, presiona el botón MODE y asegúrate que RADIAN esté resaltado. Si no lo está, usa las flechas para mover el cursor hasta RADIANS y presiona ENTER para seleccionar el modo RADIAN. Ahora podemos usar la calculadora para evaluar la función trigonométrica recíproca. Ya que la calculadora no tiene un botón para la secante, debemos utilizar la relación recíproca entre coseno y secante:

$\text{Since}\ \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}, \sec \frac{2 \pi}{5}=\frac{1}{\cos \frac{2 \pi}{5}}=3.2361.$

Ejemplo B

Usa tu calculadora para evaluar $\cot 100^\circ$ .

Solución: Esta vez necesitaremos usar el modo gradual. Luego de que se haya cambiado el modo, podemos usar el recíproco de la cotangente, la tangente, para evaluar como se muestra:

$\text{Since}\ \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}, \cot 100^\circ=\frac{1}{\tan 100^\circ} \approx -0.1763.$

Ejemplo C

Encuentra el valor exacto de $\csc \frac{5 \pi}{3}$ sin usar la calculadora. Da tu respuesta en la forma exacta.

Solución: El recíproco de la cosecante es el seno, entonces primero encontraremos $\sin \frac{5 \pi}{3}$ Usando la circunferencia goniométrica o el método alternativo, podemos determinar que $\sin \frac{5 \pi}{3}$ es $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ usando un ángulo de referencia de $60^\circ$ en el cuarto cuadrante. Ahora, encuentra su recíproco: $\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Revisión al Problema Conceptual La secante es el recíproco del coseno. Entonces, para encontrar $\sec 30^\circ$ , usa el coseno.

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Por lo tanto, $\sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ .

Práctica Guiada

Usa tu calculadora para evaluar las siguientes funciones trigonométricas recíprocas.

1. $\csc \frac{7 \pi}{8}$

2. $\cot 85^\circ$

Evalúa los siguientes ejercicios sin usar la calculadora. Da todas las respuestas en la forma exacta.

3. $\sec 225^\circ$

4. $\csc \frac{5 \pi}{6}$

Respuestas

1. $\csc \frac{7 \pi}{8}=\frac{1}{\sin \frac{7 \pi}{8}}=2.6131$

2. $\cot 85^\circ=\frac{1}{\tan 85^\circ}=0.0875$

3. $\sec 225^\circ$ es el recíproco de $\cot 225^\circ$ , un ángulo de referencia de $45^\circ$ en el CIII donde el coseno es negativo. Debido a que $\cos 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}, \cos 225^\circ=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ , y $\sec 225^\circ=-\sqrt{2}$ .

4. $\csc \frac{5 \pi}{6}$ es el recíproco de $\sin \frac{5 \pi}{6}$ , un $\frac{\pi}{6}$ o un ángulo de referencia de $30^\circ$ en el CII donde el seno es positivo. Debido a que $\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, \sin \frac{5 \pi}{6}=\frac{1}{2},$ y $\csc \frac{5 \pi}{6}=2$ .

Vocabulario

Secante: El recíproco del coseno.

Cosecante: El recíproco del seno.

Cotangente: El recíproco de la tangente.

Práctica

Usa tu calculadora para evaluar las funciones trigonométricas recíprocas. Aproxima tus respuestas al cuarto decimal.

$\csc 95^\circ$
$\cot 278^\circ$
$\sec \frac{14 \pi}{5}$
$\cot(-245^\circ)$
$\sec \frac{6 \pi}{7}$
$\csc \frac{23 \pi}{13}$
$\cot 333^\circ$
$\csc \frac{9 \pi}{5}$

Evalúa las siguientes funciones trigonométricas sin usar la calculadora. Da tus respuestas en la forma exacta.

$\sec \frac{5 \pi}{6}$
$\csc \left(-\frac{3 \pi}{2}\right)$
$\cot 225^\circ$
$\sec \frac{11 \pi}{3}$
$\csc \frac{7 \pi}{6}$
$\sec 270^\circ$
$\cot \frac{5 \pi}{3}$
$\csc 315^\circ$

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