Funciones Trigonométricas Inversas

En esta sección, aprenderás acerca del ángulo o ángulos dado el valor exacto de las razones trigonométricas para ángulos que son múltiplos de $0^\circ, 30^\circ$ y $45^\circ$ (o $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}$ radianes).

Acertijo Trigonométrico: Soy un ángulo que mide entre $0^\circ$ y $360^\circ$ . Mi tangente es $-\sqrt{3}$ . ¿Qué ángulo soy?

Orientación

Anteriormente en la unidad aprendimos cómo encontrar la medida de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo usando las razones trigonométricas inversas en la calculadora. Ahora extenderemos este concepto inverso para encontrar las medidas posibles de ángulos, dado una razón trigonométrica en la circunferencia goniométrica. Decimos posible, porque hay un número infinito de ángulos posibles con las mismas razones. Piensa en la circunferencia goniométrica. ¿Para qué ángulos es $\sin \theta=\frac{1}{2}$ ? De los triángulos rectángulos especiales, sabemos que el ángulo de referencia debe ser $30^\circ$ o $\frac{\pi}{6}$ . De hecho, podríamos tomar cualquiera de estos ángulos y añadir o sustraer $150^\circ$ o $\frac{5 \pi}{6}$ . De hecho, podríamos tomar cualquiera de estos ángulos y añadir o sustraer $360^\circ$ o $2 \pi$ a estos, cualquier número de veces y todavía tendríamos un ángulo co-terminal para el cual la razón del seno seguiría siendo $\frac{1}{2}$ . Para los problemas en esta sección, especificaremos un intervalo finito para las medidas posibles de ángulos. En general, este intervalo será $0 \le \theta < 360^\circ$ para medidas de razones y $0 \le \theta < 2 \pi$ para medidas de radianes.

Razones Trigonométricas Inversas en la Calculadora

Cuando usas la calculadora para encontrar un ángulo dada una razón, la calculadora solo puede dar una medida de ángulo. Las respuestas para las respectivas funciones siempre estarán en los siguientes cuadrantes basados en el signo de la razón.

Razón Trigonométrica	Razones Positivas	Razones Negativas
Seno	$0 \le \theta \le 90$ o $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$	$-90 \le \theta \le 0$ o $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le 0$
Coseno	$0 \le \theta \le 90$ o $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$	$90 < \theta \le 180^\circ$ o $\frac{\pi}{2} < \theta \le \pi$
Tangente	$0 \le \theta \le 90$ o $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$	$-90 \le \theta < 0$ o $-\frac{\pi}{2} \le \theta < 0$

Ejemplo A

Usa tu calculadora para encontrar todas las soluciones en el intervalo $0 \le \theta < 360^\circ$ . Aproxima tus respuestas a la decena más cercana.

a. $\cos^{-1} (0.5437)$

b. $\tan^{-1}(-3.1243)$

c. $\csc^{-1}(3.0156)$

Solución: Para todos estos ejercicios, primero debemos estar seguros que la calculadora está en modo gradual.

a. Escribe $2^{nd} \text{COS}$ , para obtener $\cos^{-1}($ en la pantalla de la calculadora. Luego, escribe la razón para obtener $\cos^{-1} (0.5437)$ en la calculadora y presiona ENTER. El resultado es $57.1^\circ$ . Este es un ángulo en el primer cuadrante y un ángulo de referencia. Queremos tener todos los ángulos posibles en el intervalo $0 \le \theta < 360^\circ$ . Para encontrar el segundo ángulo, necesitamos saber dónde más el coseno es positivo. Esto es en el cuarto cuadrante. Ya que el ángulo de referencia es $57.1^\circ$ , podemos encontrar el ángulo sustrayendo $57.1^\circ$ de $360^\circ$ para obtener $302.9^\circ$ como en nuestro segundo ángulo. Entonces $\cos^{-1}(0.5437)=57.1^\circ, 302.9^\circ$ .

b. Evalúa $\tan^{-1}(-3.1243)$ en tu calculadora usando el mismo proceso para obtener $-72.3^\circ$ . Este es un ángulo de referencia de $72.3^\circ$ en el cuarto cuadrante. Ya que queremos saber todas las respuestas posibles en el intervalo $0 \le \theta < 360^\circ$ , necesitamos ángulos con ángulos de referencia de $72.3^\circ$ en el segundo y cuarto cuadrante donde la tangente es negativa.

$2^{nd}$ cuadrante: $180^\circ - 72.3^\circ = 107.7^\circ$ y $4^{th}$ cuadrante: $360^\circ - 72.3^\circ = 287.7^\circ$

Entonces, $\tan^{-1}(-3.1243)=107.7^\circ, 287.7^\circ$

c. Esta vez tenemos una función trigonométrica recíproca. Recuerda que $\sin \theta=\frac{1}{\csc \theta}$ . En este caso, $\csc \theta=3.0156$ entonces $\sin \theta=\frac{1}{3.0156}$ y por lo tanto $\csc^{-1}(3.0156)=\sin^{-1} \left(\frac{1}{3.0156}\right)=19.4^\circ$ de la calculadora. Ahora, necesitamos encontrar nuestra segunda medida posible de ángulo. Ya que el seno (y posteriormente, la cosecante) es positivo en el segundo cuadrante, ahí es donde se ubica nuestra segunda respuesta. El ángulo de referencia es $19.4^\circ$ entonces el ángulo es $180^\circ -19.4^\circ=160.6^\circ$ . Entonces, $\csc^{-1}(3.0156)=19.4^\circ, 160.6^\circ$ .

Ejemplo B

Usa tu calculadora para encontrar $\theta$ , hasta el segundo decimal, donde $0 \le \theta < 2 \pi$ .

a. $\sec \theta = 2.1647$

b. $\sin \theta =-1.0034$

c. $\cot \theta =-1.5632$

Solución: Para cada uno de estos ejercicios, necesitaremos usar el modo radian de la calculadora.

a. Ya que $\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}, \sec^{-1}(2.1647)=\cos^{-1} \left(\frac{1}{2.1647}\right)=1.09$ radianes. Este es un valor del primer cuadrante y así, también un ángulo de referencia. Ya que el coseno (y posteriormente, la secante) es también positivo en el cuarto cuadrante, podemos encontrar la segunda respuesta sustrayendo de $2 \pi$ : $2 \pi -1.09=5.19$ .

Por lo tanto, $\sec^{-1}(2.1647)=1.09, 5.19$

b. De la calculadora, $\sin^{-1}(-0.3487)=-0.36$ radianes, un ángulo de referencia del cuarto cuadrante de 0.36 radianes. Ahora podemos usar este ángulo de referencia para encontrar ángulos en el tercer y cuarto cuadrante dentro del intervalo dado para $\theta$ .

$3^{rd}$ cuadrante: $\pi+0.36=3.50$ y $4^{th}$ cuadrante: $2 \pi -0.36=5.92$

Entonces, $\sin^{-1}(-0.3487)=3.50, 5.92$

c. Aquí, $\tan \theta=\frac{1}{\cot \theta}$ , entonces $\cot^{-1}(-1.5632)=\tan^{-1}\left(-\frac{1}{1.5632}\right)=-0.57$ , un ángulo de referencia del cuarto cuadrante de 0.57 radianes. Ya que la razón es negativa y la tangente y la cotangente son negativas en el $2^{nd}$ y $4^{th}$ cuadrante, estos son los ángulos que debemos encontrar.

$2^{nd}$ cuadrante: $\pi - 0.57=2.57$ y $4^{th}$ cuadrante: $2 \pi-0.57=5.71$

Entonces, $\cot^{-1}(-1.5632)=2.57, 5.71$

Ejemplo C

Sin usar la calculadora, encuentra $\theta$ , donde $0 \le \theta < 2 \pi$ .

a. $\sin \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b. $\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$

c. $\tan \theta=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

d. $\csc \theta=-2$

Solución:

a. De los triángulos rectángulos especiales, el seno tiene la razón $\frac{\sqrt{3}}{2}$ para el ángulo de referencia $\frac{\pi}{3}$ . Ahora podemos usar este ángulo de referencia para encontrar ángulos en el $3^{rd}$ y $4^{th}$ cuadrante donde el seno es negativo.

$3^{rd}$ cuadrante: $\pi + \frac{\pi}{3}=\frac{4 \pi}{3}$ y $4^{th}$ cuadrante: $2 \pi -\frac{\pi}{3}=\frac{5 \pi}{3}$

Entonces, $\theta=\frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}.$

b. De los triángulos rectángulos especiales, el coseno tiene la razón $\frac{\sqrt{2}}{2}$ para el ángulo de referencia de $\frac{\pi}{4}$ . Ya que el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante, una respuesta es $\frac{\pi}{4}$ y la segunda respuesta ( $4^{th}$ cuadrante) será $2 \pi -\frac{\pi}{4}=\frac{7 \pi}{4}$ . Entonces, $\theta=\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ .

c. De los triángulos rectángulos especiales, la tangente tiene la razón $\frac{\sqrt{3}}{3}$ para el ángulo de referencia $\frac{\pi}{6}$ . Ya que la tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, sustraeremos $\frac{\pi}{6}$ de $\pi$ y $2 \pi$ para encontrar los ángulos.

$\pi -\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}$ y $2 \pi -\frac{\pi}{6}=\frac{11 \pi}{6}$ . Entonces, $\theta = \frac{5 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}$ .

d. Primero, considera que si $\csc \theta=-2$ , entonces $\sin \theta=-\frac{1}{2}$ . Luego, de los triángulos rectángulos especiales, sabemos que el seno es $\frac{1}{2}$ para un ángulo de referencia $\frac{\pi}{6}$ Finalmente, encuentra los ángulos con un ángulo de referencia de $\frac{\pi}{6}$ en el tercer y cuarto cuadrante donde el seno es negativo. $\pi + \frac{\pi}{6}=\frac{7 \pi}{6}$ y $2 \pi -\frac{\pi}{6}=\frac{11 \pi}{6}$ . Entonces, $\theta=\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}$ .

Revisión del Problema Conceptual

De los triángulos rectángulos especiales, la tangente tiene la razón $\sqrt{3}$ para el ángulo de referencia $60^\circ$ . Ya que la tangente es negativa en el segundo y cuarto cuadrante, sustraeremos $60^\circ$ de $180^\circ$ y $360^\circ$ para encontrarlos ángulos.

$180^\circ - 60^\circ=120^\circ$ y $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ . Entonces, soy el ángulo que mide $120^\circ$ o $300^\circ$ .

Práctica Guiada

1. Usa tu calculadora para encontrar todas las soluciones en el intervalo $0 \le \theta < 360^\circ$ . Aproxima tus respuestas a la decena más cercana.

a. $\sin^{-1}(0.7821)$

b. $\cot^{-1}(-0.6813)$

c. $\sec^{-1}(4.0159)$

2. Usa tu calculadora para encontrar $\theta$ , hasta el segundo decimal, donde $0 \le \theta < 2 \pi$ .

a. $\cos \theta=-0.9137$

b. $\tan \theta=5.0291$

c. $\csc \theta=2.1088$

3. Sin usar la calculadora, encuentra $\theta$ , donde $0 \le \theta < 2 \pi$ .

a. $\cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b. $\cot \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$

c. $\sin \theta=-1$

Respuestas

1. a. $51.5^\circ$ y $180^\circ - 51.5^\circ=128^\circ$

b. $\cot^{-1}(-0.6813)=\tan^{-1} \left(-\frac{1}{0.6813} \right)=-55.7^\circ, 180^\circ-55.7^\circ=124.3^\circ$ y $360^\circ -55.7^\circ=304.3^\circ$

c. $\sec^{-1}(4.0159)=\cos^{-1} \left(\frac{1}{4.0159}\right)=75.6^\circ$ y $360^\circ -75.6^\circ=284.4^\circ$

2. a. $\cos^{-1}(-0.9137)=2.72$ y $\pi+2.72=30.34$

b. $\tan^{-1}(5.0291)=1.37$ y $\pi+1.37=4.51$

c. $\csc^{-1}(2.1088)=\sin^{-1} \left(\frac{1}{2.1088}\right)=0.49$ y $\pi-0.49=2.65$

3. a. $\cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$ , ya que la razón es negativa, $\theta=\pi -\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}$ y $\pi + \frac{\pi}{6}=\frac{7 \pi}{6}$

b. $\cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\tan^{-1} \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}, \theta =\frac{\pi}{3}$ , y $\pi + \frac{\pi}{3}=\frac{4 \pi}{3}$

c. $\sin^{-1}(-1)=\frac{3 \pi}{2}, \theta=\frac{3 \pi}{2}$

Práctica

Para los problemas 1-6, usa tu calculadora para encontrar todas las soluciones en el intervalo $0 \le \theta < 360^\circ$ . Aproxima tus respuestas a la decena más cercana.

$\cos^{-1}(-0.2182)$
$\sec^{-1}(10.8152)$
$\tan^{-1}(-20.2183)$
$\sin^{-1}(0.8785)$
$\csc^{-1}(-6.9187)$
$\cot^{-1}(0.8316)$

Para los problemas 7-12, usa tu calculadora para encontrar $\theta$ , hasta el segundo decimal, donde $0 \le \theta < 2 \pi$ .

$\sin \theta=-0.6153$
$\cos \theta=0.1382$
$\cot \theta=-2.8135$
$\sec \theta=-8.8775$
$\tan \theta=0.9990$
$\csc \theta=12.1385$

Para los problemas 13-18, encuentra $\theta$ , sin usar la calculadora, donde $0 \le \theta < 2 \pi$ .

$\sin \theta=0$
$\cos \theta=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan \theta=-1$
$\sec \theta=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\sin \theta=\frac{1}{2}$
$\cot \theta=\text{undefined}$
$\cos \theta=-\frac{1}{2}$
$\csc \theta=\sqrt{2}$
$\tan \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$

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