Razones Trigonométricas de Puntos en el Lado Terminal de un Ángulo

En esta sección, determinarás las coordenadas polares para un punto dadas como un par ordenado en la forma cartesiana. En otras palabras, determinarás el ángulo de rotación y los radios (distancia desde el origen) de cualquier punto en el plano cartesiano rectangular.

TAcertijo Trigonométrico #2: Soy el punto $(1, -3)$ . ¿Cuáles son mis coordinadas polares?

Orientación

Cualquier punto en el plano cartesiano se puede representar por su ángulo de rotación y radios, o distancia desde el origen. Se dice que el punto se encuentra en el lado terminal del ángulo. Podemos encontrar la medida del ángulo de referencia usando la trigonometría del triángulo rectángulo. Cuando el punto se identifica de esta manera las coordinadas se llaman coordinadas polares. Se escriben como $(r, \theta)$ , donde $r$ es el radio y $\theta$ es el ángulo de rotación. El ángulo de rotación se puede dar en grados o radianes.

Ejemplo A

Encuentra el ángulo de rotación (en grados) y el radio (distancia desde el origen) del punto $(-3, 6)$ .

Solución: Primero, haz un dibujo, ubica el punto y traza una perpendicular al eje $x$ para hacer un triángulo rectángulo.

Del dibujo, podemos ver que $\tan^{-1} \left(-\frac{6}{3} \right)=63.4^\circ$ es el ángulo de referencia entonces el ángulo de rotación es $180^\circ-63.4^\circ=116.6^\circ$ .

El radio o distancia desde el origen es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

$r^2 &=(-3)^2+(6)^2 \\\r^2 &=45 \\\r &=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Usando esta información, podemos escribir el punto $(-3, 6)$ en la forma coordinada polar, como $\left ( 3 \sqrt{5}, 116.6^\circ \right )$

Ejemplo B

Escribe las coordinadas cartesianas, $(3, -4)$ , en la forma polar. Escribe el ángulo en grados.

Solución: De nuevo, comienza con un dibujo.

Podemos encontrar el ángulo de referencia nuevamente usando la tangente: $\tan^{-1} \left(\frac{-4}{3} \right)=-53.1^\circ$ . Entonces el ángulo de rotación es $360^\circ-53.1^\circ=306.9^\circ$

Ahora encuentra el radio:

$r^2 &=3^2+(-4)^2 \\\r^2 &=25 \\\r &=\sqrt{25}=5$

Las coordinadas polares son, así $(5, 306.9^\circ)$

Nota: Te puedes haber dado cuenta que hay un patrón que nos entrega un atajo para encontrar las coordinadas polares para coordinadas cartesianas cualquiera, $(x, y)$ :

El ángulo de referencia se puede encontrar usando, $\theta=\tan^{-1} \left(\frac{y}{x} \right)$ y entonces el ángulo de rotación se puede encontrar colocando el ángulo de referencia en el cuadrante apropiado y dando un ángulo de rotación positivo desde el eje positivo $x$ $(0^\circ \le \theta < 360^\circ$ o $0 \le \theta < 2 \pi)$ . El radio siempre es $r=\sqrt{x^2+y^2}$ y se debe dar en la forma radical reducida.

Ejemplo C

Dado el punto $(-9, -5)$ en el lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en radianes) del punto y seis razones trigonométricas para el ángulo.

Solución: Asegúrate que la calculadora esté en modo radian. Usando el atajo, podemos encontrar las coordinadas polares:

$\tan^{-1} \left(\frac{5}{9} \right)=0.51$ . Ya que $x$ y $y$ son negativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante el que hace el ángulo de rotación $\pi+0.51=3.65$ . El radio será $r=\sqrt{9^2+5^2}=\sqrt{106}$ . Las coordinadas polares son $\left(\sqrt{106}, 3.65\right)$ . Como para las seis razones trigonométricas, un diagrama nos ayudará:

Ya sabemos que $\tan 3.65=\frac{5}{9}$ , entonces $\cot 3.65=\frac{9}{5}$ .

Ahora podemos usar la hipotenusa, $\sqrt{106}$ para encontrar las otras razones:

$\sin 3.65 =\frac{-5}{\sqrt{106}}=-\frac{5 \sqrt{106}}{106}$ y $\csc 3.65=-\frac{\sqrt{106}}{5}$ .

$\cos 3.65 =\frac{-9}{\sqrt{106}}=-\frac{9 \sqrt{106}}{106}$ y $\sec 3.65=-\frac{\sqrt{106}}{9}$

Revisión del Problema Conceptual Primero, haz un dibujo, coloca el punto y traza una perpendicular al eje $x$ para hacer un triángulo rectángulo.

Del dibujo, podemos ver que $\tan^{-1} \left(-\frac{3}{1} \right)=71.6^\circ$ es el ángulo de referencia. El punto $(1, -3)$ está en el segundo cuadrante, entonces el ángulo de rotación es $180^\circ-71.6^\circ=108.4^\circ$ .

El radio o distancia desde el origen es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

$r^2 &=(1)^2+(-3)^2 \\\r^2 &=10 \\\r &=\sqrt{10}$

Por lo tanto, mis coordinadas polares son $\left ( \sqrt{10}, 108.4^\circ \right )$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra el ángulo de rotación (en grados) y el radio (distancia desde el origen) del punto $(7, 24)$ .

2. Escribe las coordinadas cartesianas, $(-8, -15)$ , en la forma polar (en radianes) y encuentra seis razones trigonométricas para el ángulo.

3. Dado el punto $(12, -4)$ en el lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en grados) del punto y las seis razones trigonométricas para el ángulo.

Respuestas

1. $r=\sqrt{7^2+24^2}=25$ , $\theta=\tan^{-1} \left(\frac{24}{7} \right) \approx 73.7^\circ$

2. $r=\sqrt{(-8)^2+(-15)^2}=17$ y $\theta=\tan^{-1} \left(\frac{-15}{-8} \right) \approx 1.08$ entonces las coordinadas polares son $(17, 1.08)$ .

Las 6 razones trigonométricas son: $\sin 1.08 &=-\frac{15}{17} \quad \csc 1.08 =-\frac{17}{15} \\\\cos 1.08 &=-\frac{8}{17} \quad \sec 1.08 =-\frac{8}{15} \\\\tan 1.08 &=\frac{15}{8} \quad \ \ \cot 1.08 =-\frac{8}{15}$

3. $r=\sqrt{12^2+(-4)^2}=4 \sqrt{10}$ y $\theta=\tan^{-1} \left(\frac{-4}{12} \right) \approx 341.6^\circ$ entonces las coordinadas polares son $\left(4 \sqrt{10}, 341.6^\circ\right)$ .

Las 6 razones trigonométricas son: $\sin 341.6^\circ &=-\frac{\sqrt{10}}{10} \quad \csc 341.6^\circ=-\sqrt{10} \\\\cos 341.6^\circ &=\frac{3 \sqrt{10}}{10} \quad \csc 341.6^\circ=\frac{\sqrt{10}}{3} \\\\tan 341.6^\circ &=-\frac{1}{3} \quad \ \ \ \tan 341.6^\circ=-3$

Vocabulario

Coordinadas polares: Cuando un ángulo en el plano cartesiano se representa por su ángulo de rotación y la distancia desde el origen, o radio.

Práctica

Las medidas de los ángulos deberían aproximarse al grado más cercano, a la centena de un radián o escribir la respuesta exacta si es posible. Todos los valores de $r$ deberían ser escritos en la forma radical reducida.

Escribe los siguientes pares de coordinadas cartesianas en la forma polar. Usa grados para los problemas 1 y 2 y radianes para los problemas 3-5.

$(16, -30)$
$(5, 5)$
$(-5, -12)$
$(-9, 40)$
$(-4, 8)$

Dado los puntos en un lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en grados) del punto y seis razones trigonométricas para los ángulos.

$(-6, 8)$
$(0, -15)$
$(10, -8)$
$\left(4 \sqrt{3}, 4\right)$
$(-6, 6)$

Dados los puntos en el lado terminal de un ángulo, encuentra las coordinadas polares (en radianes) del punto y seis razones trigonométricas para los ángulos.

$(-9, 0)$
$(13, -13)$
$(2, 3)$
$\left(-7, -7 \sqrt{3}\right)$
$(-8, -4)$

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