Usar r y theta para encontrar un Punto en el Plano Cartesiano

En esta sección, se te dará el radio y el ángulo de rotación $\theta$ de un punto en el plano cartesiano (coordinadas polares) y determinarás las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto.

Acertijo Trigonométrico #3: Soy un punto. Mis coordinadas polares son $(2, 330^\circ)$ . ¿Cuáles son mis coordinadas cartesianas?

Orientación

En esta sección convertiremos las coordinadas polares a coordinadas cartesianas. Básicamente, revertiremos el proceso usado en la sección anterior.

Ejemplo A

Dado el punto $(6, 120^\circ)$ , encuentra las coordenadas cartesianas equivalentes.

Solución: Primero, considera el siguiente diagrama, el triángulo rectángulo formado por un segmento perpendicular al eje $x$ y la hipotenusa igual al radio. Podemos encontrar los catetos del triángulo rectángulo usando la trigonometría del triángulo rectángulo y así las coordinadas $x$ e $y$ del punto.

Del diagrama podemos ver que el ángulo de referencia es $60^\circ$ . Ahora podemos usar la trigonometría del triángulo rectángulo para encontrar $x$ e $y$ . En este caso en particular, también podemos usar las razones de los triángulos rectángulos especiales o la circunferencia goniométrica.

$\cos 60^\circ &=\frac{x}{6} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \sin 60^\circ =\frac{y}{6} \\\x &=6 \cos 60^\circ=6 \left(\frac{1}{2} \right)=3 \qquad and \qquad \ \ \qquad y =6 \cos 60^\circ =6 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=3\sqrt{3}$

Ya que el punto está en el segundo cuadrante, el valor de $x$ debería ser negativo dadas las coordenadas cartesianas $\left(-3, 3 \sqrt{3}\right)$ .

Más Orientación

Recuerda que cada punto en la circunferencia goniométrica era $(\cos \theta, \sin \theta)$ , donde $\theta$ representaba el ángulo de rotación desde el eje positivo $x$ y el radio (distancia desde el origen) era 1. En estos problemas, nuestro radio varía ya que no estamos más restringidos a la circunferencia goniométrica. En el ejemplo anterior, observa que las coordenadas $(x, y)$ son esencialmente $(6 \cos 60^\circ, 6 \sin 60^\circ)$ donde 6 era el radio y $60^\circ$ era el ángulo de referencia. Podríamos haber usado el ángulo de rotación, $120^\circ$ , y la única diferencia sería que la razón del coseno sería negativa lo que automáticamente hace que la coordinada $x$ sea negativa. Podemos generalizar esto en una regla para convertir coordinadas polares a coordinadas cartesianas:

$(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta)$

Ejemplo B

Dado el punto, $(10, -220^\circ)$ , encuentra las coordinadas cartesianas.

Solución: Usando la regla con $r=10$ y $\theta=220^\circ$ y la calculadora:

$(10 \cos(-220^\circ), 10 \sin(-220^\circ))=(-7.66, 6.43)$

Ejemplo C

Dado el punto, $\left(9, \frac{11 \pi}{6} \right)$ , encuentra el valor exacto de las coordinadas cartesianas.

Solución: Esta vez $r=9$ y $\theta=\frac{11 \pi}{6}$ . entonces, $\left( 9 \cos \frac{11 \pi}{6}, 9 \sin \frac{11 \pi}{6} \right)=\left(9 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right), 9 \left(-\frac{1}{2} \right) \right)=\left(\frac{9 \sqrt{3}}{2}, - \frac{9}{2} \right)$ .

Primero, dibuja un diagrama. De este diagrama podemos ver que el ángulo de referencia es $30^\circ$ . Ahora podemos usar la trigonometría del triángulo rectángulo para encontrar $x$ e $y$ . En este caso en particular, podemos usar las razones de los triángulos rectángulos especiales o la circunferencia goniométrica.

$\cos 30^\circ &=\frac{x}{2} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \sin 30^\circ =\frac{y}{2} \\\x &=2 \cos 30^\circ=2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\sqrt{3} \qquad and \qquad \ \ \qquad y =2 \sin 30^\circ =2 \left(\frac{1}{2} \right)=1$

Ya que el punto está en el cuarto cuadrante, el valor de $y$ debería ser negativo dadas las coordinadas cartesianas $\left(\sqrt{3}, -1\right)$ .

Revisión del Problema Conceptual Primero dibuja un diagrama. Del diagrama podemos ver que el ángulo de referencia es $30^\circ$ . Ahora podemos usar la trigonometría del triángulo rectángulo para encontrar $x$ e $y$ . En este caso en particular, también podemos usar las razones del triángulo rectángulo especial o la circunferencia goniométrica.

Ya que el punto está en el cuarto cuadrante, el valor de $y$ debería ser negativo dadas las coordinadas cartesianas $\left(\sqrt{3}, -1\right)$ .

Práctica Guiada

1. Usa tu calculadora para encontrar las coordinadas cartesianas equivalentes a las coordinadas polares $(11, 157^\circ)$ .

2. Encuentra el valor exacto de las coordinadas cartesianas equivalentes a las coordinadas polares $(8, 45^\circ)$ .

3. Encuentra el valor exacto de las coordinadas cartesianas equivalentes a las coordinadas polares $\left(5, - \frac{\pi}{2} \right)$ .

Respuestas

1. $(11 \cos 157^\circ, 11 \sin 157^\circ) \approx (-10.13, 4.30)$

2. $(8 \cos 45^\circ, 8 \sin 45^\circ)=\left(8 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right), 8 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)=(4 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$

3. $\left(5 \cos \left(-\frac{\pi}{2} \right), 5 \sin \left(-\frac{\pi}{2} \right) \right)=(5(0), 5(-1))=(0, -5)$

Práctica

Usa tu calculadora para encontrar las coordinadas cartesianas equivalentes a las siguientes coordinadas polares. Aproxima tus respuestas a la centena más cercana.

$(13, 38^\circ)$
$(25, -230^\circ)$
$(17, 345^\circ)$
$(2, 140^\circ)$
$\left(7, \frac{2 \pi}{5} \right)$
$(9, 2.98)$
$(3, -5.87)$
$\left(10, \frac{13 \pi}{7} \right)$

Encuentra el valor exacto de las coordinadas cartesianas equivalentes a las siguientes coordenadas polares.

$\left(5, \frac{\pi}{3} \right)$
$\left(6, -\frac{\pi}{4} \right)$
$\left(12, \frac{5 \pi}{6} \right)$
$(7, \pi)$
$(11, 2 \pi)$
$\left(14, \frac{4 \pi}{3} \right)$
$\left(27, \frac{3 \pi}{4} \right)$
$\left(40, -\frac{5 \pi}{6} \right)$

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