Ley de Senos con AAL y ALA

En esta sección, derivarás la relación de la Ley de Senos y la usarás para resolver triángulos no rectángulos en los que se conocen dos ángulos y un lado.

Un triángulo tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $45^\circ$ . La longitud de los lados entre estos dos ángulos es 10. ¿Cuáles son las longitudes de los otros dos lados?

Orientación

Observa el siguiente triángulo no rectángulo. Podemos construir una altura desde cada uno de los vértices para dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos como se muestra a continuación.

Del diagrama podemos escribir dos funciones trigonométricas que involucran $h$ :

$\sin C&=\frac{h}{b} \qquad and \qquad \sin B=\frac{h}{c}\\\b \sin C&=h \qquad \qquad \quad \ c \sin B=h$

Ya que ambos son iguales a $h$ , podemos igualarlas para obtener:

$b \sin C=c \sin B$ y finalmente dividir ambos lados por $bc$ para crear la proporción:

$\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin B}{b}$

Si construimos la altura desde diferentes vértices, digamos $B$ , obtendremos la proporción: $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}$ . Ahora, la propiedad transitiva nos permite concluir que $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$ . Podemos ponerlos todos juntos como la Ley de los Senos: $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ . En los ejemplos siguientes usaremos la Ley de los Senos para resolver triángulos.

Ejemplo A

Resuelve el triángulo.

Solución: Ya que sabemos dos de los tres ángulos del triángulo, podemos encontrar el tercer ángulo sabiendo que los tres ángulos deben sumar en total $180^\circ$ . Entonces, $m \angle A=180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 650^\circ$ . Ahora podemos substituir los valores conocidos hacia la relación de la Ley de Senos como se muestra:

$\frac{\sin 65^\circ}{a}=\frac{\sin 70^\circ}{15}=\frac{\sin 45^\circ}{c}$

Tomando dos razones cada vez, podemos resolver las proporciones para encontrar $a$ y $c$ usar multiplicación cruzada.

Para encontrar $a$ :

$\frac{\sin 65^\circ}{a}&=\frac{\sin 70^\circ}{15} \\\a&=\frac{15 \sin65^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 14.5$

Para encontrar $c$ :

$\frac{\sin 70^\circ}{15}&=\frac{\sin 45^\circ}{c} \\\c&=\frac{15 \sin45^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 11.3$

Este triángulo en particular es un ejemplo en el que nos dan dos ángulos y el lado no incluido o AAL (también LAA).

Ejemplo B

Resuelve el triángulo.

Solución: En este ejemplo nos dan dos ángulos y también un lado, pero el lado está entre los ángulos. Nos referimos a esta disposición como ALA. En la práctica, no importa mucho si nos dan AAL o ALA. Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo A. Primero, encuentra el tercer ángulo: $m \angle A=180^\circ - 50^\circ - 80^\circ = 50^\circ$ .

Segundo, copia detalladamente las proporciones apropiadas para calcular los lados desconocidos, $a$ y $b$ .

Para encontrar $a$ :

$\frac{\sin 80^\circ}{a}&=\frac{\sin 50^\circ}{20} \\\a&=\frac{20 \sin80^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 25.7$

Para encontrar $b$ :

$\frac{\sin 50^\circ}{b}&=\frac{\sin 50^\circ}{20} \\\b&=\frac{20 \sin50^\circ}{\sin 50^\circ} = 20$

Observa que $c=b$ y $m \angle C=m \angle B$ . Esto ilustra una propiedad de los triángulos isósceles, la cual establece que los ángulos base (los ángulos apuestos a los lados congruentes) también son congruentes.

Ejemplo C

Tres barcos pesqueros de una flota están mar adentro. El Chester está a 32 km del Angela. Un oficial del Chester resuelve que el ángulo entre el Angela y el Beverly es $25^\circ$ . Un oficial del Beverly resuelve que el ángulo entre el Angela y el Chester es $100^\circ$ . ¿Qué tan alejados están el Chester y el Beverly? Aproxima tu respuesta al kilómetro más cercano?

Solución: Primero, haz un dibujo. Recuerda que cuando decimos que un oficial en una de las naves está midiendo un ángulo, el ángulo que se está midiendo está en el vértice donde el barco se encuentra.

Ahora que tenemos una imagen, podemos determinar el ángulo en Angela y entonces usar la Ley de los Senos para encontrar la distancia entre el Beverly y el Chester.

El ángulo en Angela es $180^\circ - 100^\circ - 25^\circ = 55^\circ$ .

Ahora encuentra $x$ ,

$\frac{\sin 55^\circ}{x}&=\frac{\sin 100^\circ}{32} \\\x&=\frac{32 \sin 55^\circ}{\sin 100^\circ} \approx 27$

El Beverly y el Chester están alejados 27 km.

Revisión del Problema Conceptual La medida del tercer ángulo del triángulo es $180^\circ - 60^\circ -45^\circ =75^\circ$

$\frac{\sin 45^\circ}{x}&=\frac{\sin 75^\circ}{10}, \ \text{so} \ x=\frac{10 \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 7.29 \\\\frac{\sin 60^\circ}{y}&=\frac{\sin 75^\circ}{10}, \ \text{so} \ y=\frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 8.93$

Práctica Guiada

Resuelve los triángulos.

3. Un equipo de investigación está midiendo la distancia entre punto $A$ ubicado en un lado del río y punto $B$ al otro lado del río. Un investigador se encuentra en el punto $A$ y el segundo se encuentra en el punto $C$ , 65 m más arriba del punto $A$ . siguiendo la orilla del río. El investigador en el punto $A$ calcula que el ángulo entre los puntos $B$ y $C$ es $103^\circ$ . El investigador en el punto $C$ calcula que el ángulo entre los puntos $A$ y $B$ es $42^\circ$ . Encuentra la distancia entre los puntos $A$ y $B$ .

Respuestas

1. $m \angle A=180^\circ - 82^\circ -24^\circ =74^\circ$

$\frac{\sin 24^\circ}{b}&=\frac{\sin 74^\circ}{11}, \ \text{so} \ b=\frac{11 \sin 24^\circ}{\sin 74^\circ} \approx 4.7 \\\\frac{\sin 82^\circ}{c}&=\frac{\sin 74^\circ}{11}, \ \text{so} \ c=\frac{11 \sin 82^\circ}{\sin 74^\circ} \approx 11.3$

2. $m \angle C=180^\circ - 110^\circ -38^\circ =32^\circ$

$\frac{\sin 38^\circ}{a}&=\frac{\sin 110^\circ}{18}, \ \text{so} \ a=\frac{18 \sin 38^\circ}{\sin 110^\circ} \approx 11.8 \\\\frac{\sin 32^\circ}{c}&=\frac{\sin 110^\circ}{18}, \ \text{so} \ c=\frac{18 \sin 32^\circ}{\sin 110^\circ} \approx 10.2$

$m \angle B &= 180^\circ - 103^\circ - 42^\circ = 35^\circ \\\\frac{\sin 35^\circ}{65} &= \frac{\sin 42^\circ}{c} \\\c &= \frac{65 \sin 42^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 75.8 \ m$

Vocabulario

Ley de Senos: Para cualquier triángulo, la razón del seno de un ángulo divido por lado opuesto es igual al seno de cualquier otro ángulo en triángulo, dividido por su lado opuesto. $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

Práctica

Resuelve los triángulos. Aproxima tus respuestas a la decena más cercana.

Usando la información dada, resuelve $\Delta ABC$ .

$m \angle A&=85^\circ \\\m \angle C&=40^\circ \\\a&=12$

$m \angle B&=60^\circ \\\m \angle C&=25^\circ \\\a&=28$

$m \angle B&=42^\circ \\\m \angle A&=36^\circ \\\b&=8$

$m \angle B&=30^\circ \\\m \angle A&=125^\circ \\\c&=45$

Usa la Ley de Senos para resolver los siguientes problemas verbales.

Un investigador está tratando de encontrar la distancia entre los dos lados de un desfiladero. Calcula que el ángulo entre un punto en lado opuesto del desfiladero, $X$ , y un punto, en el mismo lado de donde se encuentra, a 200 pies de su ubicación, $Y$ , mide $100^\circ$ . Entonces, camina a $Y$ y calcula que el ángulo entre $X$ y su ubicación anterior mide $20^\circ$ . ¿Qué tan ancho es el desfiladero?
Un terreno triángular tiene ángulos de $46^\circ$ y $58^\circ$ . El lado opuesto al ángulo de $46^\circ$ mide 35 m. ¿Cuántos metros se necesitan para cercar todo el terreno? Aproxima tu respuesta a la mitad de metro más cercana

Prev Next