El Caso Ambiguo-LLA

En esta sección, se te darán dos lados y el ángulo no incluido, identificarás los triángulos en los que puede haber dos soluciones y encontrarás ambas cuando sea posible.

Un triángulo tiene dos lados de longitud 2 (a) y 5 (b). El ángulo no incluido (B) del triángulo mide $45^\circ$ . ¿Cuáles son las medidas posibles para los otros dos ángulos y el lado restante?

Orientación

Recuerda que la razón del seno para un ángulo y su suplemento siempre será igual. En otras palabras, $\sin \theta=\sin(180 - \theta)$ . En Geometría, aprendiste que no se puede comprobar que dos triángulos son congruentes usando LLA e investigaste casos en los que puede haber dos triángulos. En el ejemplo A, exploraremos cómo se puede usar la Ley de Senos para encontrar dos triángulos cuando conocemos la longitud de dos lados de un triángulo y el ángulo no incluido.

Ejemplo A

Dado $\Delta ABC$ con $m \angle A=30^\circ$ , $a=5$ , y $b=8$ , calcula las medidas del otro ángulo y lado.

Solución: Primero, hagamos un diagrama para mostrar la relación entre los lados y ángulos dados. Luego, podemos fijar una proporción para calcular el ángulo $C$ :

$\frac{\sin 30^\circ}{5}&=\frac{\sin C}{8} \\\\sin C&=\frac{8 \sin 30^\circ}{5} \\\C&=\sin^{-1}\left(\frac{8 \sin 30^\circ}{5}\right) \approx 53.1^\circ$

De aquí podemos encontrar $m \angle A=96.9^\circ$ , ya que los tres ángulos deben sumar $180^\circ$ . También podemos encontrar el tercer lado usando otra razón de la Ley de Senos:

$\frac{\sin 30^\circ}{5}&=\frac{\sin 96.9^\circ}{a} \\\a&=\frac{5 \sin 96.9^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 9.9$

Colocando estas medidas en el triángulo, obtenemos:

Pero, sabemos que $\sin \theta=\sin(180 -\theta)$ entonces, cuando calculamos $C$ solo obtuvimos uno de los dos ángulos posibles. El otro ángulo será $180^\circ-53.1^\circ=126.9^\circ$ . Luego, necesitamos determinar la medida del ángulo $A$ y la longitud del tercer lado en este segundo ángulo posible. La suma de los tres ángulos todavía debe ser $180^\circ$ , entonces $m \angle A=23.1^\circ$ . Ahora, fija una proporción para calcular el tercer lado, tal como se hizo anteriormente:

$\frac{\sin 30^\circ}{5}&=\frac{\sin 23.1^\circ}{a} \\\a&=\frac{5 \sin 23.1^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 3.9$

El segundo triángulo se vería así:

En este caso había dos triángulos posibles.

Ejemplo B

Dado $\Delta ABC$ con $m \angle B=80^\circ$ , $a=5$ y $b=7$ , calcula el otro ángulo y las medidas de los lados.

Solución: Nuevamente, empezaremos con un diagrama y usaremos la relación de la ley de los senos para encontrar una segunda medida de ángulo en el triángulo.

$\frac{\sin 80^\circ}{7}&=\frac{\sin A}{5} \\\\sin A&=\frac{5 \sin 80^\circ}{7} \\\A&=\sin^{-1}\left(\frac{5 \sin 80^\circ}{7}\right) \approx 44.7^\circ$

Ahora encuentra el tercer ángulo, $180^\circ - 80^\circ - 44.7^\circ=55.3^\circ$ y calcula el tercer lado:

$\frac{\sin 80^\circ}{7}&=\frac{\sin 55.3^\circ}{c} \\\c&=\frac{7 \sin 55.3^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 5.8$

Ya que usamos la función inversa del seno para determinar la medida del ángulo $A$ , el ángulo podría ser el suplementario de $44.7^\circ$ o $135.3^\circ$ entonces necesitamos revisar en busca de un segundo triángulo. Si establecemos que $m \angle A=135.3^\circ$ y luego tratamos de encontrar el tercer ángulo, descubriremos que la suma de los dos ángulos conocidos es mayor que $180^\circ$ y entonces no se puede formar un triángulo.

$m \angle A + m \angle B + m \angle C=180^\circ \\\135.3^\circ + 80^\circ+m \angle C=180^\circ \\\215.3^\circ+m \angle C>180^\circ$

Este ejemplo muestra que no siempre es posible tener dos triángulos. Observa que si el ángulo dado es obtuso, solo habrá un triángulo posible..

Más Orientación

En ambos ejemplos, simplemente probamos para ver si existía un segundo triángulo. Hay, sin embargo, guías para seguir a fin de determinar cuando existe un segundo triángulo y cuando es imposible obtener dos. El método “comprobar y observar” siempre funciona y por lo tanto, no es necesario memorizar la siguiente tabla. Sin embargo, es interesante ver dibujos y realizar conexiones entre las inecuaciones y si se puede formar un triángulo.

Primero, considera cuando $A$ es obtuso:

Si $a>b$ , entonces se puede formar un triángulo.

Si $a \le b$ , entonces no se puede formar ningún triángulo.

Ahora, considera los escenarios posibles cuando $A$ es agudo.

Si $a>b$ , entonces se puede formar un triángulo.

For the following cases, where $a<b$ , recuerda que estaríamos usando la proporción:

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$ y que $\sin B=\frac{b \sin A}{a}$

Si $b \sin A>a$ , no se puede formar ningún triángulo, ya que $B>1$ .

Si $b \sin A=a$ , se puede formar un triángulo rectángulo, ya que $\sin B=1$ .

Si $b \sin A<a$ (y $a<b$ ), se puede formar dos triángulos, ya que $\sin B<1$ .

Ejemplo C

Dado $\Delta ABC$ con $m \angle A=42^\circ$ , $b=10$ y $a=8$ , usa las reglas para determinar cuántos triángulos se pueden formar, si es posible, y luego, resuelve los posibles triángulos.

Solución: En este caso, $A$ es agudo $a<b$ , entonces necesitamos observar el valor de $b \sin a$ . Ya que $b \sin A=10 \sin 42^\circ \approx 6.69 < a$ , habrá dos triángulos. Para calcular estos triángulos, usa la relación de la Ley Extendida de Senos en vez de realizar un diagrama. Insertando lo que sabemos, tenemos:

$\frac{\sin 42^\circ}{8}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{10}$

Toma la primera y la última razón para resolver una proporción para encontrar la medida del ángulo $A$ .

$\frac{\sin C}{10}&=\frac{\sin 42^\circ}{8} \\\C&=\sin^{-1}\left(\frac{10 \sin 42^\circ}{8}\right) \approx 56.8^\circ$

Entonces, la $m \angle C \approx 56.8^\circ$ o $123.2^\circ$ y $m \angle B \approx 81.2^\circ$ o $14.8^\circ$ respectivamente.

Calcula la medida del lado $b$ en cada triángulo:

$\frac{\sin 42^\circ}{8}&=\frac{\sin 81.2^\circ}{b} \qquad \qquad \qquad and \qquad \frac{\sin 42^\circ}{8}=\frac{\sin 14.8^\circ}{b}\\\b&=\frac{8 \sin 81.2^\circ}{\sin 42^\circ} \approx 11.8 \qquad \qquad \qquad \qquad \ b=\frac{8 \sin 14.8^\circ}{\sin 42^\circ} \approx 3.1$

Colocando todo junto, tenemos:

Triángulo 1: $m \angle A \approx 42^\circ, m \angle B \approx 81.2^\circ, m \angle C = 56.8^\circ, a=8, b \approx 11.8, c=10$

Triángulo 2: $m \angle A \approx 42^\circ, m \angle B \approx 14.8^\circ, m \angle C = 123.2^\circ, a=8, b \approx 3.1, c=10$

Revisión del Problema Conceptual

$\frac{\sin 45^\circ}{5}&=\frac{\sin A}{2} \\\\sin A&=\frac{2 \sin 45^\circ}{5} \\\A&=\sin^{-1}\left(\frac{2 \sin 45^\circ}{5}\right) \approx 16.4^\circ$

Ahora encuentra el tercer ángulo, $180^\circ - 45^\circ - 16.4^\circ=118.6^\circ$ y calcula el tercer lado:

$\frac{\sin 45^\circ}{5}&=\frac{\sin 118.6^\circ}{c} \\\c&=\frac{5 \sin 118.6^\circ}{\sin 45^\circ} \approx 6.2$

Práctica Guiada

1. Usa las longitudes del lado dado y la medida del ángulo para determinar si puede haber uno, dos o ningún triángulo.

a. $m \angle A=100^\circ, a=3, b=4$ .

b. $m \angle A=50^\circ, a=8, b=10$ .

c. $m \angle A=72^\circ, a=7, b=6$ .

2. Resuelve los siguientes triángulos.

3. Dado $m \angle A=30^\circ$ , $a=80$ y $b=150$ , encuentra $m \angle C$ .

Respuestas

1. a. Ya que $A$ es obtuso y $a \le b$ , no se puede formar ningún triángulo.

b. Ya que $A$ es agudo, $a<b$ y $b \sin A<a$ , se pueden formar dos triángulos.

c. Ya que $A$ es agudo y $a>b$ , se puede formar un triángulo.

2. a. En este caso habrán dos triángulos ya que $A$ es agudo, $a<b$ y $b \sin A<a$ .

Usando la relación extendida: $\frac{\sin 25^\circ}{6}=\frac{\sin B}{8}=\frac{\sin C}{c}$ , obtenemos:

$m \angle B &\approx 34.3^\circ \qquad or \qquad m \angle B \approx 145.7^\circ\\\m \angle C &\approx 120.7^\circ \qquad \qquad \ \ m \angle C \approx 9.3^\circ\\\c &\approx 12.2 \qquad \qquad \qquad \quad \ c \approx 2.3$

b. Ya que $A$ es agudo y $a>b$ , se puede formar un triángulo.

Usando la relación extendida: $\frac{\sin 50^\circ}{15}=\frac{\sin B}{14}=\frac{\sin C}{c}$ , obtenemos:

$m \angle B &\approx 45.6^\circ \\\m \angle C &\approx 84.4^\circ \\\c &\approx 19.5$

3. En este caso $A$ es agudo, $a<b$ y $b \sin A<a$ entonces se pueden formar dos triángulos. Entonces, una vez que encontremos las dos medidas posibles del ángulo $B$ , encontraremos las dos medidas posibles del ángulo $C$ . Primero, encuentra $m \angle B$ :

$\frac{\sin 30^\circ}{80}&=\frac{\sin B}{150} \\\\sin B&=\frac{150 \sin 30^\circ}{80} \\\B & \approx 69.6^\circ, 110.4^\circ$

Ahora que tenemos $B$ , usa la suma del triángulo para encontrar $m \angle C \approx 80.4^\circ, 39.9^\circ$ .

Práctica

Para los problemas 1-5, usa las reglas para determinar si habrá uno, dos o ningún triángulo posible con las medidas dadas.

$m \angle A=65^\circ, a=10, b=11$
$m \angle A=25^\circ, a=8, b=15$
$m \angle A=100^\circ, a=6, b=4$
$m \angle A=75^\circ, a=25, b=30$
$m \angle A=48^\circ, a=41, b=50$

Resuelve los siguientes triángulos, si es posible. Si hay un segundo triángulo posible, resuélvelo también.

Prev Next