Área de un Triángulo

En esta sección, usarás la razón del radio para encontrar el área de triángulos no rectángulos en los que conocemos dos lados y la medida del ángulo incluido.

Toby dibuja un triángulo en el que la longitud de dos de sus lados es 8 y 5 pulgadas. El mide el ángulo incluido con un transportador y obtiene $75^\circ$ . ¿Cuál es el área del triángulo?

Orientación

Acuérdate del triángulo no rectángulo para el cual derivamos la ley del seno.

Conocemos bastante bien la fórmula del área: $A=\frac{1}{2}bh$ donde la base, $b$ , es la longitud del lado perpendicular a la altura. Si consideramos el ángulo $C$ en el diagrama, podemos escribir las siguientes expresiones trigonométricas para la altura del triángulo, $h$ :

$\sin C&=\frac{h}{b} \\\b \sin C&=h$

Ahora, podemos reemplazar $h$ en la fórmula con $b \sin C$ y el lado perpendicular a $h$ es la base, $a$ . Nuestra nueva fórmula del área es, entonces:

$A=\frac{1}{2}ab \ \sin C.$

Es importante notar que $C$ es el ángulo entre los lados $a$ y $b$ y que se pueden usar en la fórmula cualquiera de los dos lados y el ángulo incluido.

Ejemplo A

Encuentra el área del triángulo.

Solución: Conocemos dos lados y el ángulo incluido, entonces sea $a=6$ , $b=9$ y $C=62^\circ$ . Ahora podemos usar la fórmula para encontrar el área del triángulo:

$A=\frac{1}{2}(6)(9)\sin(62^\circ) \approx 23.8 \ square \ units$

Ejemplo B

Encuentra el área del triángulo.

Solución: En este triángulo no tenemos los dos lados ni el ángulo incluido. Primero, debemos encontrar otra longitud del lado usando la Ley de Senos. Podemos encontrar el tercer ángulo usando la suma del triángulo: $180^\circ - 51^\circ - 41^\circ = 88^\circ$ . Usa la Ley de Senos para encontrar la longitud del lado opuesto $41^\circ$ :

$\frac{\sin 88^\circ}{17}&=\frac{\sin 41^\circ}{x} \\\x&=\frac{17 \sin 41^\circ}{\sin 88^\circ} \approx 11.2$

Coloca estas medidas en el triángulo:

Ahora, tenemos dos lados y el ángulo incluido y podemos usar la fórmula del área:

$A=\frac{1}{2}(11.2)(17)\sin(51^\circ) \approx 74 \ square \ units$

Ejemplo C

Dado $c=25 \ cm$ , $a=31 \ cm$ y $B=78^\circ$ , encuentra el área de $\Delta ABC$ .

Solución: En esta sección, nos dan dos lados y el ángulo incluido. Podemos ajustar la fórmula para representar los lados y el ángulo dado: $A=\frac{1}{2}ac \ \sin B$ . Realmente no importa cual “letra” están en la fórmula, siempre y cuando representen dos lados y el ángulo incluido (el ángulo entre los dos lados.) Ahora, colocamos nuestros valores para encontrar el área: $A=\frac{1}{2}(31)(25)\sin(78^\circ)\approx 379 \ cm^2$ .

Revisión al Problema Conceptual Conocemos dos lados y el ángulo incluido , entonces sea $a=8$ , $b=5$ y $C=75^\circ$ . Ahora, podemos usar la fórmula para encontrar el área del triángulo:

$A=\frac{1}{2}(8)(5)\sin(75^\circ) \approx 19.4 \ square \ inches$

Práctica Guiada

Encuentra el área de cada uno de los siguientes triángulos. Aproxima tus respuestas a la unidad cuadrada más cercana.

Respuestas

1. Conocemos dos lados y el ángulo incluido, entonces $A=\frac{1}{2}(20)(23)\sin 105^\circ \approx 222 \ sq \ units$ .

2. Primero, encuentra el lado $a$ first: $\frac{\sin 70^\circ}{8}=\frac{\sin 60^\circ}{a}$ , entonces $a=\frac{8 \sin 60^\circ}{\sin 70^\circ}\approx 7.4$ . Luego, encuentra $m \angle C=180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$ .

Usando la fórmula del área, $A=\frac{1}{2}(7.4)(8)\sin 50^\circ \approx 22.7 \ sq \ units$ .

3. Encuentra $m \angle C=180^\circ - 80^\circ - 41^\circ = 59^\circ$ . Encuentra un segundo lado: $\frac{\sin 59^\circ}{50}=\frac{\sin 80^\circ}{a}$ , entonces $a=\frac{50 \sin 80^\circ}{\sin 59^\circ} \approx 57.4$ .

Usando la fórmula del área, $A=\frac{1}{2}(57.4)(50)\sin 41^\circ \approx 941 \ sq \ units$ .

Práctica