Usar la Ley de Cosenos con LAL (para encontrar el tercer lado)

En esta sección, usarás la Ley de Cosenos para determinar la longitud del tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo incluido.

Toby dibuja un triángulo que tiene dos lados con longitudes de 8 y 5 pulgadas. Mide el ángulo incluido con un transportador y obtiene $75^\circ$ . ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

Orientación

La Ley de Cosenos se puede usar para calcular el tercer lado de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo incluido de un triángulo. Considera el siguiente triángulo no rectángulo en el que conocemos $a, b$ y $C$ . Podemos dibujar una altura desde $B$ para crear dos triángulos más pequeños como se muestra, donde $x$ representa la longitud del segmento desde $C$ hasta la base de la altura y $b-x$ representa la longitud del resto del lado opuesto al ángulo $B$ .

Ahora podemos usar el Teorema de Pitágoras para relacionar las longitudes de los segmentos en cada uno de los triángulos rectángulos que se muestra.

Triángulo 1: $x^2+k^2=a^2$ o $k^2=a^2-x^2$

Triángulo 2: $(b-x)^2+k^2=c^2$ o $k^2=c^2-(b-x)^2$

Ya que ambas ecuaciones son iguales a $k^2$ , podemos igualarlas y simplificar:

$a^2-x^2 &=c^2-(b-x)^2 \\\a^2-x^2 &=c^2-(b^2-2bx+x^2) \\\a^2-x^2 &=c^2-b^2+2bx-x^2 \\\a^2 &=c^2-b^2+2bx \\\a^2+b^2-2bx &=c^2$

Recuerda que sabemos los valores de $a$ y $b$ y la medida del ángulo $C$ . No sabemos la medida de $x$ . Podemos usar la razón del coseno como se muestra a continuación para encontrar una expresión para $x$ en términos de lo que ya conocemos.

$\cos C=\frac{x}{a} \quad \text{so} \quad x=a \cos C$

Finalmente, podemos reemplazar $x$ en la ecuación para obtener la Ley de Cosenos: $a^2+b^2-2ab \cos C=c^2$

Recuerda que $a$ y $b$ son los lados del ángulo $C$ en la fórmula.

Ejemplo A

Encuentra $c$ cuando $m \angle C=80^\circ, a = 6$ y $b = 12$ .

Solución: Reemplazar las variables en la fórmula con la información y calcular $c$ :

$c^2 &=6^2+12^2-2(6)(12) \cos 80^\circ \\\c^2 & \approx 154.995 \\\c & \approx 12.4$

Ejemplo B

Encuentra $a$ , cuando $m \angle A=43^\circ$ , $b=16$ y $c=22$ .

Solución: Esta vez, conocemos los lados que rodean al ángulo $A$ y la medida del ángulo $A$ . Podemos reescribir la fórmula como: $a^2=c^2+b^2-2cb \cos A$ . Recuerda que la longitud por sí misma en un lado debe ser el lado opuesto al ángulo en la razón del coseno. Ahora podemos insertar nuestros valores y calcular $a$ .

$a^2 &=16^2+22^2-2(16)(22) \cos 43^\circ \\\a^2 & \approx 225.127 \\\a & \approx 15$

Ejemplo C

Rae está haciendo un jardín floral triangular. Un lado está rodeado por la terraza y otro lado está rodeado por la cerca. Rae planea colocar un borde de piedra en el tercer lado. Si la longitud de la terraza es de 10 pies y la longitud de la cerca es de 15 pies y se encuentran en un ángulo de $100^\circ$ , ¿Cuántos pies necesita crear del borde de piedra?

Solución: Sean las dos longitudes de los lados conocidos $a$ y $b$ y el ángulo entremedio es $C$ . Ahora podemos usar la fórmula para encontrar $c$ , la longitud del tercer lado.

$c^2 &=10^2+15^2-2(10)(15) \cos 100^\circ \\\c^2 & \approx 377.094 \\\c & \approx 19.4$

Entonces, Rae necesitará crear un borde de 19,4 pies.

Revisión del Problema Conceptual Estamos tratando de encontrar $c$ . Conocemos $m \angle C=75^\circ, a = 8$ y $b = 5$ .

Solución: Reemplazar las variables en la fórmula con la información dada y calcular $c$ :

$c^2 &=8^2+5^2-2(8)(5) \cos 75^\circ \\\c^2=64 + 25 - 80 \cos 75^\circ \\\c^2=89 - 80(0.26)\\\c^2 & \approx 68.2 \\\c & \approx 8.26$

Por lo tanto, el tercer lado mide aproximadamente 8,26 pulgadas.

Práctica Guiada

1. Encuentra $c$ cuando $m \angle C=75^\circ, a = 32$ y $b = 40$ .

2. Encuentra $b$ cuando $m \angle B=120^\circ, a = 11$ y $c =17$ .

3. A Dan le gusta nadar en un pequeño lago cercano a su casa. Para ejercitarse, nada desde un muelle ubicado en el lado norte del lago hasta otro muelle, ubicado en el lado sur. Un día decidió determinar la longitud que nadaba. Determina las distancias desde cada uno de los muelles hasta un punto en tierra y los ángulos entre los muelles desde tal punto eran $50^\circ$ . ¿Cuántas vueltas necesita nadar Dan para cubrir una distancia de 1000 metros?

Respuestas

1. $c^2 &=32^2+40^2-2(32)(40) \cos 75^\circ \\\c^2 & \approx 1961.42 \\\c & \approx 44.3$

2. $b^2 &=11^2+17^2-2(11)(17) \cos 120^\circ \\\b^2 & \approx 597 \\\b & \approx 24.4$

3. $c^2 &=30^2+35^2-2(30)(35) \cos 50^\circ \\\c^2 & \approx 775.146 \\\c & \approx 27.84$

Ya que cada vuelta es de 27,84 metros, Dan debe nadar $\frac{1000}{27.84} \approx 36$ vueltas.

Vocabulario

Ley de Cosenos: Para cualquier triángulo con lados a , b , y c , la fórmula $c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos C$ siempre es verdadera.

Práctica

En los problemas de 1 a 6, usa la Ley de Cosenos para encontrar el valor de $x$ , aproximado a la decena más cercana.

Para los problemas 7-10, encuentra el lado desconocido del triángulo. Aproxima tus respuestas a la decena más cercana.

Encuentra $c$ , dado $m \angle C=105^\circ$ , $a = 55$ y $b = 61$ .
Encuentra $b$ , dado $m \angle B=26^\circ$ , $a = 33$ y $c = 24$ .
Encuentra $a$ , dado $m \angle A=77^\circ$ , $b = 12$ y $c = 19$ .
Encuentra $b$ , dado $m \angle B=95^\circ$ , $a = 28$ y $c = 13$ .
Explica por qué cuando $m \angle C=90^\circ$ , la Ley de Cosenos se transforma en el Teorema de Pitágoras.
Luis está diseñando un patio en el patio trasero de su casa. Un lado, de 20 pies de largo, estará en frente de lado de la casa. Un segundo lado estará rodeado por una cerca de madera. Si la cerca y la casa se encuentran en un ángulo de $120^\circ$ y el largo de la cerca es de 15 pies, ¿Qué tan largo es el tercer lado del patio?

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