Usando la Ley de Cosenos con LLL (para encontrar un ángulo)

En esta sección, usarás la Ley de Cosenos para encontrar la medida de un ángulo en un triángulo en el que se conocen todas las longitudes de los tres lados.

Sarine dibuja un triángulo. Ella mide la longitud de los lados y escribe sus mediciones de la siguiente forma. ¿Cuál es la medida del ángulo C del triángulo?

$a=3\\\b=4\\\c=5$

Orientación

La Ley de Cosenos, $a^2+b^2-2ab \cos C$ , se puede reorganizar para facilitar el cálculo de la medida del ángulo $C$ cuando $a, b$ y $c$ son todas longitudes conocidas.

$a^2+b^2-2ab \cos C &=c^2 \\\a^2+b^2-c^2 &=2ab \cos C \\\\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} &=\cos C$

Que se puede manipular hasta $C=\cos^{-1} \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)$ .

Ejemplo A

Encuentra la medida del ángulo mayor en el triángulo con lados de longitud 12, 18 y 21.

Solución: Primero, debemos determinar cuál ángulo será el mayor. Recuerda que en Geometría el lado de mayor longitud es opuesto al ángulo mayor. El lado de mayor longitud es 21, entonces sea $c = 21$ ya que $C$ es el ángulo que estamos tratando de encontrar. Sea $a =12$ y $b = 18$ y usa la fórmula para calcular $C$ como se muestra. No importa qué lados asignamos a $a$ y $b$ . Son intercambiables en la fórmula.

$m \angle C=\cos^{-1} \left(\frac{12^2+18^2-21^2}{2(12)(18)} \right) \approx 86^\circ$

Nota: Asegúrate de poner paréntesis entre todo el numerador y todo el denominador en la calculadora para asegurar el orden apropiado de las operaciones. La pantalla de la calculadora debería verse así:

$\cos^{-1}((12^2+18^2-21^2)/(2(12)(18)))$

Ejemplo B

Encuentra el valor de $x$ , aproximado al grado más cercano.

Solución: El ángulo con la medida $x^\circ$ será el ángulo $C$ entonces $c = 16, a = 22$ y $b = 8$ . Recuerda, $a$ y $b$ son intercambiables en la fórmula. Ahora podemos reemplazar las variables con las medidas conocidas y resolver.

$\cos^{-1} \left(\frac{22^2+8^2-16^2}{2(22)(8)} \right) \approx 34^\circ$

Ejemplo C

Encuentra $m \angle A$ , si $a = 10, b = 15$ y $c = 21$ .

Solución: Primero, volvamos a ordenar la fórmula para reflejar los lados dados y el ángulo pedido:

$\cos A=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2(b)(c)} \right)$ , ahora inserta nuestros valores $m \angle A=\cos^{-1} \left(\frac{15^2+21^2-10^2}{2(15)(21)} \right) \approx 26^\circ$

Revisión del Problema Conceptual

Podemos usar la Ley de Cosenos manipulada para calcular C.

$C=\cos^{-1} \frac{3^2+4^2-5^2}{2(3)(4)} \\\C=\cos^{-1} \frac{9 + 16 - 25}{24}\\\C=\cos^{-1} \frac{0}{24} = \cos^{-1} 0\\\C = 90^\circ$

Por lo tanto, el triángulo es un triángulo rectángulo.

Práctica Guiada

1. Encuentra la medida de $x$ En el diagrama:

2. Encuentra la medida del ángulo más pequeño en el triángulo con lados de longitud 47, 54 y 72.

3. Encuentra $m \angle B$ , si $a = 68, b = 56$ y $c = 25$ .

Respuestas

1. $\cos^{-1} \left(\frac{14^2+8^2-19^2}{2(14)(8)} \right) \approx 117^\circ$

2. El ángulo más pequeño será opuesto al lado con longitud 47, entonces este será $c$ en la ecuación.

$\cos^{-1} \left(\frac{54^2+72^2-47^2}{2(54)(72)} \right) \approx 41^\circ$

3. Reordena la fórmula para calcular $m \angle B, \cos B=\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2(a)(c)} \right); \cos^{-1} \left(\frac{68^2+25^2-56^2}{2(68)(25)} \right) \approx 52^\circ$

Práctica

Usa la Ley de Cosenos para encontrar el valor de $x$ , en los problemas 1-6. Aproxima tu respuesta al grado más cercano.

Encuentra la medida del ángulo más pequeño en el triángulo con lados de 150, 165 y 200 metros de longitud.
Encuentra la medida del ángulo más grande en el triángulo con lados de 59, 83 y 100 yardas de longitud.
Encuentra $m \angle C$ si $a = 6, b = 9$ y $c=13$ .
Encuentra $m \angle B$ si $a = 15, b = 8$ y $c = 9$ .
Encuentra $m \angle A$ si $a = 24, b = 20$ y $c = 14$ .
Un terreno triangular está rodeado por un camino, una cerca y un arroyo. Si el tramo del camino es de 100 metros, la longitud de la cerca es de 115 metros y el lado a lo largo del arroyo es de 90 metros, ¿En qué ángulo se encuentran la cerca y el camino?

Prev Next