La Fórmula de Herón para el Área de un Triángulo y Resolver Problemas con Trigonometría

En esta sección, usarás la fórmula de Herón para el área de un triángulo cuando se conocen las longitudes de los lados y resolverás problemas de aplicación cotidianos usando la Ley de Senos, la Ley de Cosenos o las fórmulas de las áreas.

Sarine dibuja un triángulo y mide sus lados en 2, 5 y 6 pulgadas. ¿Cuál es el área del triángulo?

Orientación

La Fórmula de Herón, conocida a así por Herón de Alejandría 2000 años atrás, se puede usar para encontrar el área de un triángulo si se conocen las longitudes de los tres lados. La fórmula requiere el semi-perímetro, $s$ , o $\frac{1}{2}(a+b+c)$ , donde $a, b$ y $c$ son las longitudes de los lados del triángulo.

Fórmula de Herón: $\text{Area} =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Ejemplo A

Usa la fórmula de Herón para encontrar el área de un triángulo con longitudes de lado de 13, 16 y 23 cm.

Solución: Primero, encuentra el semi-perímetro o $s$ : $s=\frac{1}{2}(13+16+23)=26$ . Luego, substituye nuestros valores a la fórmula como se muestra y evalúa:

$A=\sqrt{26(26-13)(26-16)(26-23)}=\sqrt{26(13)(10)(3)}=\sqrt{10140} \approx 101 \ cm^2$

Ejemplo B

Alena está diseñando un jardín en su patio. Está usando tres pedazos de madera como borde. Si los pedazos de madera tienen 4, 6 y 3 pies de longitud, ¿Cuál es el área del jardín?

Solución: El jardín será triangular con lados de 4, 6 y 3 pies de longitud. Encuentra el semi-perímetro y luego usa la fórmula de Herón para encontrar el área.

$s &=\frac{1}{2}(4+6+3)=\frac{13}{2} \\\A &=\sqrt{\frac{13}{2} \left(\frac{13}{2} -4 \right) \left(\frac{13}{2} -6 \right) \left(\frac{13}{2} -3 \right)}=\sqrt{\frac{13}{2} \left(\frac{5}{2} \right) \left(\frac{1}{2} \right) \left(\frac{7}{2} \right)}=\sqrt{\frac{455}{16}} \approx 28 \ ft^2$

Ejemplo C

Caroline quiere medir la altura de una torre de radio. Desde una distancia de la torre, el ángulo de elevación desde su ubicación hasta la torre es de $65^\circ$ . Caroline camina 100 m más allá de la torre y calcula que el ángulo de elevación hasta el punto más alto de la torre es de $48^\circ$ . ¿Qué tan alta es la torre?

Solución: Primero, haz un diagrama para ilustrar la situación.

Podemos usar las propiedades de ángulos (par lineal y suma del triángulo) para encontrar los ángulos mostrados en verde en el diagrama.

$180^\circ-65^\circ=115^\circ$ y $180^\circ-48^\circ-115^\circ=17^\circ$

Luego, podemos usar la Ley de Senos en el triángulo obtuso para encontrar la hipotenusa en el triángulo rectángulo:

$\frac{\sin 17^\circ}{100} &=\frac{\sin 48^\circ}{x} \\\x &=\frac{100 \sin 48^\circ}{\sin 17^\circ} \approx 254.18$

Finalmente, podemos usar la razón del seno en el triángulo rectángulo para encontrar la altura de la torre:

$\sin 65^\circ=\frac{h}{254.18}, h=254.18 \sin 65^\circ \approx 230.37 \ m$

Revisión del Problema Conceptual Primero, encuentra el semi-perímetro o $s$ : $s=\frac{1}{2}(2+5+6)=6.5$ . Luego, substituye nuestro valores a la fórmula de Herón y evalúa:

$A=\sqrt{6.5(6.5-2)(6.5-5)(6.5-6)}=\sqrt{6.5(4.5)(1.5)(0.5)}=\sqrt{21.94} \approx 4.7 \ in.^2$

Práctica Guiada

Usa la regla o fórmula más apropiada (Ley de Senos, Ley de Cosenos, fórmulas del área con la fórmula del seno o de Herón) para responder las siguientes preguntas.

1. Encuentra el área del triángulo con lados de 50, 45 y 25 m de longitud.

2. Matthew fertilizar su pasto. Cada saco de fertilizante asegura cubrir 500 pies cuadrados de pasto. Su propiedad tiene la forma de un triángulo. El calcula que dos lados de su jardín son de 75 y 100 pies y el ángulo entre ellos es $72^\circ$ . ¿Cuántos sacos de fertilizante debe comprar?

3. Un par de lados adyacentes en un paralelogramo son de 3 y 7 pulgadas y el ángulo entre ellos es $62^\circ$ , encuentra la longitud de las diagonales.

Respuestas

1. Fórmula de Herón: $s=\frac{1}{2}(50+45+25)=60, A=\sqrt{60(60-50)(60-45)(60-25)} \approx 561 \ m^2$ .

2. Fórmula del área con seno: $\frac{1}{2}(75)(100) \sin 72^\circ \approx 3566 \ ft^2$ , Número de sacos $\frac{3566}{500} \approx 7.132 \approx 8$ sacos. Aproximamos porque 7 sacos no son suficientes.

Ley de Cosenos para encontrar la diagonal azul:

$c^2 &=3^2+7^2-2(3)(7) \cos 62^\circ \\\c &=\sqrt{38.28} \approx 6.19$ Entonces, 6,19 pulgadas

Para encontrar la diagonal verde, podemos usar la Ley de Cosenos, con el ángulo adyacente: $180^\circ-62^\circ-118^\circ$ :

$c^2 &=7^2+3^2-2(7)(3) \cos 118^\circ \\\c &=\sqrt{77.72} \approx 8.82$ Entonces, 8,82 pulgadas

Vocabulario

Fórmula de Herón: Para cualquier triángulo con lados a , b , y c $\text{Area} =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Práctica

Usa la Ley de Senos, la Ley de Cosenos, las fórmulas de las áreas del triángulo con seno o la fórmula de Herón para resolver problemas de aplicación cotidianos.

Dos observadores, Rachel y Luis, están parados en la costa, separados por 0,5 millas. Cada uno mide al mismo tiempo el ángulo entre la costa y un velero que está en el mar. Si el ángulo de Rachel es $63^\circ$ y el de Luis es de $56^\circ$ , encuentra la distancia entre Luis y el velero. Aproxima tu respuesta a la centena de milla más cercana.
2. Dos peatones desde los límites opuestos de una calle hasta un punto en el otro lado de la calle. El ángulo formado por sus huellas es de $125^\circ$ . Un peatón camina 300 pies y el otro, 320 pies. ¿Qué tan larga es la calle? Aproxima tu respuesta al pie más cercano?
Dos lados y el ángulo incluido de un paralelogramo tienen medidas de 3,2 cm, 4,8 cm y $54.3^\circ$ respectivamente. Encuentra las longitudes de las diagonales, aproximando a la decena de centímetro más cercana.
Un puente está sostenido por suspensores triangulares. Si los lados de cada suspensor miden 63, 46 y 40 pies, encuentra la medida del ángulo más grande. Aproxima al grado más cercano.
Encuentra el área triangular, rodeada por tres piezas de cerca de 123, 150 y 155 metros de largo. Aproxima al metro cuadrado más cercano.
Encuentra el área de un paralelogramo con lados de 12 y 15 pulgadas de longitud y el ángulo incluido de $78^\circ$ . Aproxima a la pulgada cuadrada más cercana.
Una persona en un punto $A$ mira al este y observa un OVNI con un ángulo de elevación de $40^\circ$ . Al mismo tiempo, otra persona, 1 milla al oeste de A observa al este y ve el mismo OVNI con un ángulo de elevación de $25^\circ$ . Encuentra la distancia entre $A$ y el OVNI. ¿Qué tan lejos está el OVNI del suelo? Aproxima tu respuesta a la centena de milla más cercana.
Encuentra el área de un jardín de juegos triangular, con lados de 10, 15 y 16 m de longitud. Aproxima al metro cuadrado más cercano.
Un jardín está rodeado en dos lados con cercas de 80 y 60 pies de longitud. Si las cercas se encuentran en un ángulo de $75^\circ$ ¿Cuánta cerca se necesita para rodear completamente la región triangular?
Cuando un niño se para en la orilla de un río y mira a la otra orilla, el ángulo de depresión es de $12^\circ$ . Si suba a la cima de un árbol de 10 pies y mira a la otra orilla, el ángulo de depresión es de $15^\circ$ . ¿Cuál es la distancia entre la primera posición del niño y la otra orilla del río? ¿Qué tan ancho es el río? Aproxima tus respuestas al pie más cercano.