Graficar el Seno y el Coseno

En esta sección, aprenderás a cómo graficar y estirar las funciones de seno y coseno.

Tu misión, si es que eliges aceptarla, como el Agente Trigonometría es graficar la función $y=2 \cos x$ . ¿Cuáles son los puntos mínimos y máximos de tu gráfico?

Guía

En esta sección, recurriremos a la circunferencia de radio 1, la cual vimos en el capítulo anterior, y la graficaremos en el Plano Cartesiano.

Para hacer esto, vamos a "desentrañar" la circunferencia de radio 1. Recuerda que para esta circunferencia las coordenadas son $(\sin \theta, \cos \theta)$ donde $\theta$ es el ángulo central. Para graficar $y=\sin x$ reescribe las coordenadas como $(x, \sin x)$ donde $x$ es el ángulo central en radianes. A continuación, ampliamos las coordenadas del seno en $\frac{3\pi}{4}$ .

Observa que la curva tiene un rango de 1 a -1. El valor máximo es 1, el cual se encuentra en $x=\frac{\pi}{2}$ . El valor mínimo es -1 en $x=\frac{3 \pi}{2}$ . La "altura" de la función seno se llama amplitud . La amplitud es el valor absoluto del promedio entre el punto más alto y el más bajo en la curva.

Ahora, mira el dominio. Pareciera ser que, si la curva continuara, esta se repetiría. Esto quiere decir que la curva seno es periódica . Si volvemos a la circunferencia de radio 1, veremos que el valor seno cambia hasta que alcanza $2 \pi$ .Después de $2 \pi$ , los valores seno se repiten. Por lo tanto, la curva de arriba se repetirá cada $2 \pi$ unidad, por lo que el periodo $2 \pi$ . El dominio son todos los números reales.

De manera similar, cuando ampliamos la curva coseno, $y=\cos x$ , de la circunferencia de radio 1, obtenemos:

Observa que el rango también es 1 y -1, y el dominio serán todos los números reales. La curva coseno también es periódica, con un periodo de $2 \pi$ . Si hacemos el gráfico y pasamos $2\pi$ ,luciría de la siguiente manera:

Al comparar ${\color{red}y=\sin x}$ y ${\color{blue}y=\cos x}$ (a continuación), observamos que las curvas son casi idénticas, excepto por que la curva seno comienza en $y = 0$ y la curva coseno comienza en $y = 1$ .

Si cambiamos cualquiera de las curvas en $\frac{\pi}{2}$ unidades hacia la izquierda o la derecha, estas se sobrepondrán. Cualquier traslación horizontal de una función trigonométrica se llama traslación de fase . Veremos más de las traslaciones de fase en las secciones que siguen.

Ejemplo A

Encuentra los puntos destacados en $y=\sin x$ y $y=\cos x$ a continuación.

Solución: Para cada punto, piensa cual sería el valor del seno y el coseno para esos puntos. Para el punto $A$ sería $\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , por lo tanto el punto es $\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ . Para el punto $B$ , debemos trabajar de manera inversa ya que no se trata exactamente una recta vertical, sino que está en una recta horizontal. ¿Cuándo es el valor de $\sin x=-\frac{1}{2}$ ? Cuando $x=\frac{7 \pi}{6}$ o $\frac{11 \pi}{6}$ . Al observar la ubicación del punto $B$ sabemos que es la segunda opción. Por lo tanto, el punto es $\left(\frac{11 \pi}{6},\frac{1}{2}\right)$ .

En el caso de la curva coseno, el punto $C$ es igual al punto $A$ ya que el seno y el coseno de $\frac{\pi}{4}$ es el mismo. En el caso del punto $D$ , debemos seguir la misma lógica del punto $B$ . ¿Cuándo es el $\cos x = -\frac{1}{2}$ ? Cuando $x=\frac{2 \pi}{3}$ o $\frac{4\pi}{3}$ . De nuevo, al observar la ubicación del punto $D$ , sabemos que es la segunda opción. El punto es $\left(\frac{4\pi}{3},\frac{1}{2}\right)$ .

Más Guías

Además de graficar $y=\sin x$ y $y=\cos x$ , podemos estirar los gráficos colocando un número en frente del seno o el coseno, tales como $y=a\sin x$ o $y=a\cos x$ . $|a|$ es la amplitud de la curva. En la próxima sección, trasladaremos las curvas hacia arriba, hacia abajo, o hacia los lados.

Ejemplo B

Grafica $y=3 \sin x$ en dos periodos.

Solución: Comienza con la curva seno básica. Recuerda que el periodo $y=\sin x$ , del gráfico madre es $2 \pi$ . Por lo tanto, dos periodos serán $4 \pi$ . El 3 indica que el rango ahora será de 3 a -3 y la curva se estirará con tal que el máximo sea 3 y el mínimo sea -3. La curva roja es $y=3 \sin x$ .

Observa que los interceptos $x$ son los mismos que en el gráfico madre. Normalmente, al graficar una función trigonométrica, siempre señalamos que la función tiene dos periodos completos para indicar su repetición.

Ejemplo C

Grafica $y=\frac{1}{2}\cos x$ en dos periodos.

Solución: Ahora, la amplitud será $\frac{1}{2}$ y la función será "comprimida" en vez de estirada.

Ejemplo D

Grafica $y=-\sin x$ en dos periodos.

Solución: En los últimos dos ejemplos, tratamos con un valor de $a$ variable y positivo. Ahora, $a$ es negativo. Al igual que en el caso de otras funciones, cuando el coeficiente principal es negativo, la función se refleja en el eje $x$ . $y=-\sin x$ es la función de color rojo.

Revisión del Problema Introductorio El 2 delante del coseno indica que el rango será de 2 a -2 y la curva se estirará con tal que el máximo sea 2 y el mínimo -2.

Práctica Guiada

1. ¿Acaso el punto $\left(\frac{5 \pi}{6},\frac{1}{2}\right)$ se encuentra en $y=\sin x$ ? ¿Cómo lo sabes?

Grafica las funciones a continuación con dos periodos completos.

2. $y=6 \cos x$

3. $y=-3 \cos x$

4. $y=\frac{3}{2} \sin x$

Respuestas

1. Sustituye $x$ e $y$ por el punto y comprueba si la ecuación es válida.

$\frac{1}{2}=\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$

Esto es válido, por lo tanto $\left(\frac{5 \pi}{6},\frac{1}{2}\right)$ se encuentra en el gráfico.

2. Estira la curva coseno con tal que el máximo sea 6 y el mínimo sea -6.

3. El gráfico se refleja en el eje $x$ y se estira con tal que la amplitud sea 3

4. La fracción es equivalente a 1,5, por lo tanto, 1,5 es la amplitud.

Vocabulario

Función trigonométrica: Trazado del seno, coseno o tangente de un ángulo en el plano $x-y$ de maneta tal que $(x,f(x))$ , donde $x$ es el ángulo central de la circunferencia de radio $f(x)$ es el seno, coseno o tangente de aquel ángulo.

Amplitud: Altura de una curva seno o coseno. En la ecuación $y=a\sin x$ o $y = a\cos x$ , la amplitud es $|a|$ .

Periódica: Cuando una función repite sus valores $y$ en un intervalo.

Periodo: Intervalo en el cual una función periódica se repite.

Traslación de Fase: Traslación horizontal de una función trigonométrica.

Práctica

Determina el valor exacto de cada punto en $y=\sin x$ o $y=\cos x$ .

Enumera todos los puntos que están en el intervalo $[0,4 \pi]$ donde $\sin x=\cos x$ . Recurre al gráfico del paso 1 para ayudarte.
3. Dibuja $y=\sin x$ desde $[0, 2 \pi]$ . Encuentra $f \left(\frac{\pi}{3}\right)$ y $f \left(\frac{5 \pi}{3}\right)$ . Traza estos valores en la curva.

En el caso de las preguntas 4 y 12, grafica la curva seno o coseno en dos periodos.

$y=2 \sin x$
$y=-5 \cos x$
$y=\frac{1}{4} \cos x$
$y=- \frac{2}{3} \sin x$
$y=4 \sin x$
$y=-1.5 \cos x$
$y=\frac{5}{3} \cos x$
$y=10 \sin x$
$y=-7.2 \sin x$
Grafica $y=\sin x$ e $y=\cos x$ en el mismo par de ejes. ¿Cuántas unidades tendrás que trasladar la curva seno (hacia la izquierda o la derecha) para que se superponga perfectamente sobre la curva coseno?
Grafica $y=\sin x$ e $y=-\cos x$ en el mismo par de ejes. ¿Cuántas unidades tendrás que trasladar la curva seno (hacia la izquierda o la derecha) para que se superponga perfectamente sobre $y=- \cos x$ ?

Escribe la ecuación para cada curva seno o coseno a continuación. $a>0$ para ambos casos.