Traslación de Funciones Seno y Coseno

En esta sección, aprenderás a cómo graficar una función seno o coseno trasladada.

Tu mejor amigo te pide describir en qué se diferencia el gráfico de la función $y= sin (x-\pi)-2$ is al gráfico de la función $y= \sin x$ . ¿Cuál es tu respuesta?

Guía

Al igual que con las otras funciones, las curvas seno y coseno pueden trasladarse hacia la izquierda, hacia la derecha, hacia arriba o hacia abajo. La ecuación general de una curva seno y coseno es $y=a \sin (x-h)+k$ y $y=a \cos(x-h)+k$ , respectivamente. Al igual que en otras funciones, $h$ también es la traslación horizontal, también llamada traslación de fase , Y $k$ es la traslación vertical. Observa que debido a que en la ecuación se encuentra $x - h$ , $h$ siempre se trasladará en la dirección opuesta a lo que se señala en la ecuación.

Ejemplo A

Grafica $y=\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ .

Solución: Esta función se trasladará $\frac{\pi}{4}$ unidades hacia la derecha. La manera más fácil de trazar la curva es empezar por el gráfico madre y luego moverlo hacia la derecha la cantidad respectiva de unidades.

Ejemplo B

Grafica $y=\sin (x+2)+3$ .

Solución: Debido a que -2 no se escribe en términos de $\pi$ (como el eje $x$ ), debemos estimar cuál será su ubicación en el eje. $- \frac{3 \pi}{4}=2.35 \ldots$ por lo tanto, -2 no se trasladará tan cerca de la marca del punto $- \frac{3 \pi}{4}$ Luego, la función completa se trasladará 3 unidades. El gráfico rojo es la respuesta final.

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la curva seno a continuación.

Solución: Primero, sabemos que la amplitud es 1, ya que el promedio entre 2 y 0 (el máximo y el mínimo) es 1. Luego, podemos encontrar la traslación vertical. Recuerda que por lo general el máximo es 1; en esta ecuación, es 2. Esto quiere decir que la función se traslada 1 unidad $(2-1)$ . La traslación horizontal es la más difícil de hallar. Debido a que las curvas seno son periódicas, la traslación horizontal puede ser tanto positiva como negativa.

Dado que $\pi$ es $3.14 \ldots$ , podemos decir que "retroceder casi $\pi$ unidades" es equivalente a -3 unidades. Por lo tanto, la ecuación es $y=\sin (x+3)+1$ . Si hiciéramos la traslación horizontal positiva, podemos decir que la ecuación sería $y=\sin (x-3.28)+1$ .

Para determinar el valor de la traslación horizontal, puede que tengas que estimarlo. Por ejemplo, estimamos que la traslación negativa era -3, ya que el valor máximo del gráfico madre se encuentra en $x=\frac{\pi}{2}$ y que el valor máximo a la izquierda del gráfico no se acerca $x=- \frac{\pi}{2}$ (la distancia entre $\frac{\pi}{2}$ y $-\frac{\pi}{2}$ es $\pi$ ).Luego, para determinar la ecuación de la traslación positiva, recuerda que un periodo es $2 \pi$ , cuyo valor es $6.28 \ldots$ Por lo tanto, la traslación positivo será $2 \pi - 3$ o $6.28 - 3 = 3.28.$ .

Revisión del Problema Introductorio

Si comparas $y= sin (x-\pi)-2$ con la ecuación general $y=a \sin(x-h)+k$ , observarás que $h=\pi$ y $k=-2$ .

$h$ es la traslación horizontal, por ende la función se encuentra $\pi$ unidades hacia la derecha de $y= \sin x$ .

$k$ es la traslación vertical, por lo tanto, la función se encuentra 2 unidades hacia abajo a partir de $y= \sin x$ .

Por lo tanto, el gráfico de $y= sin (x-\pi)-2$ se trasladó $\pi$ unidades hacia la derecha y dos unidades hacia abajo a partir del gráfico de $y= \sin x$ .

Práctica Guiada

Grafica las siguientes funciones desde $[\pi, 3 \pi]$ .

1. $y=-1+\sin x$

2. $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) - 2$

3. Encuentra la ecuación de la curva coseno a continuación.

Respuestas

1. Traslada el gráfico madre 1 unidad hacia abajo.

2. Traslada el gráfico madre $\frac{\pi}{3}$ unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo.

3. El gráfico madre está en color verde. Se mueve 3 unidades hacia arriba $\frac{3 \pi}{4}$ unidades hacia la derecha. Por lo tanto, la ecuación $y=\cos \left(x-\frac{3 \pi}{4}\right)+3$ .

Si movieras la curva coseno en la dirección contraria, la ecuación sería $y=\cos \left(x+\frac{5 \pi}{4}\right)+3$ .

Vocabulario

Traslación de Fase: Traslación horizontal de una función trigonométrica.

Práctica

Para las preguntas 1 a 4, una la ecuación con su respectivo gráfico.

$y=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$
$y=\cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+3$
$y=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2$
$y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)+2$

¿Cuál de los gráficos anteriores representa también a estas ecuaciones?

$y=\cos(x-\pi)$
$y=\sin \left(x+\frac{3 \pi}{4}\right)-2$
Escribe otra ecuación seno para el gráfico A.
Pregunta de Desarrollo ¿Cuántas ecuaciones seno (o coseno) se pueden generar para una sola curva? ¿Por qué?
Completa los espacios a continuación.
1. $\sin x=\cos(x-\underline{\;\;\;\;\;})$
2. $\cos x=\sin(x-\underline{\;\;\;\;\;})$

Para las preguntas 10 a 15, grafica las siguientes ecuaciones desde $[-2\pi, 2\pi]$ .

$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
$y=1+\cos x$
$y=\cos(x+\pi)-2$
$y=\sin(x+3)-4$
$y=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
$y=\cos(x-1)-3$
Razonamiento Analítico ¿Hay alguna diferencia entre $y=\sin x +1$ y $y=\sin(x+1)$ ? Explique.

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