Une Todo lo Aprendido

En esta sección, aprenderás a graficar: funciones de seno y coseno para las cuales la amplitud ha cambiado y traslaciones tanto horizontales como verticales.

Tu misión, si eliges aceptarla, como el Agente Trigonometría es hallar el dominio y el rango de la función $y=\frac{1}{2}\sin (x+2)-3$ .

Guía

Combina lo aprendido en los dos primeros conceptos y cambia la amplitud, las traslaciones horizontales, las verticales y las reflexiones.

Ejemplo A

Grafica $y=4 \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ . Encuentra el dominio y el rango.

Solución: Primero, estira la curva con tal que la amplitud sea 4, lo que hace al máximo 4 y al mínimo -4. Luego, traslada la curva $\frac{\pi}{4}$ unidades hacia la derecha.

En el caso del dominio, son todos los números reales ya que la curva seno es periódica e infinita. El rango será desde el máximo hasta el mínimo; $y\in [-4,4]$ .

Ejemplo B

Grafica $y=-2\cos (x-1)+1$ . Encuentra el dominio y rango.

Solución: El -2 indica que la curva coseno está invertida y que está estirada para que la amplitud sea 2. Luego, mueve la curva 1 unidad hacia arriba y hacia la derecha.

El dominio son todos los números reales; el rango es $y\in [-1,3]$ .

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la curva seno a continuación.

Solución: Primero, debemos encontrar la amplitud. El rango es de 1 a -5, lo cual es una distancia total de 6. Al dividirlo por 2, la amplitud ahora es 3. Justo en el medio entre 1 y -5 está $\frac{1+(-5)}{5}=-2$ , por lo tanto, esta última es nuestra traslación vertical. Finalmente, debemos encontrar la traslación horizontal. La forma más sencilla para lograr esto es superponer la curva $y=3\sin (x)-2$ sobre esta curva y determinar el movimiento desde un máximo hasta el máximo más cercano de esta curva.

Al restar $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{6}$ , obtenemos:

$\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{3 \pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2 \pi}{6}=\frac{\pi}{3}$

La ecuación es $y=3 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2$ .

Revisión del Problema Introductorio

El $\frac{1}{2}$ indica que la curva seno está comprimida de manera tal que la amplitud sea $\frac{1}{2}$ . Luego, mueve la curva 2 unidades hacia abajo y 3 unidades a la izquierda.

El dominio son todos los números reales y el rango es $y\in [-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}]$ .

Práctica Guiada

Grafica las funciones a continuación. Determina el dominio y el rango. Haz dos periodos completos.

1. $y=-2\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$

2. $y=\frac{1}{3}\cos (x+1)-2$

3. Escribe una ecuación seno y una ecuación coseno para la curva a continuación.

Respuestas

1. El dominio son todos los números reales y el rango es $y\in [-2,2]$ .

2. El dominio son todos los números reales y el rango es $y \in \left [-2\frac{1}{3},-1\frac{2}{3} \right ]$ .

3. La amplitud y la traslación vertical es la misma, sea la ecuación una curva seno o coseno. La traslación vertical es -2 ya que ese es el número que se encuentra entre el máximo y el mínimo. La diferencia entre el máximo y el mínimo es 1, por lo tanto, la amplitud es la mitad de ese valor, o $\frac{1}{2}$ . En forma de una curva seno, la función es $y=-2+\frac{1}{2}\sin x$ . En forma de una curva coseno, habrá una traslación de $\frac{\pi}{2}, y=\frac{1}{2} \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)-2$ .

Práctica

Determina si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.

Para transformar una curva coseno en una curva seno, traslada la curva $\frac{\pi}{2}$ unidades.
Para todo gráfico seno o coseno existen infinitas ecuaciones posibles para representar la curva.
La amplitud es igual al valor máximo de la curva seno o coseno.
La traslación horizontal siempre se encuentra en términos $\pi$ .
El dominio de cualquier función seno o coseno serán siempre todos los números reales.

Grafica las siguientes funciones seno o coseno de manera tal que $x \in [-2 \pi, 2 \pi]$ . Señala el dominio y el rango.

$y=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1$
$y=2-3\cos x$
$y=\frac{3}{4} \sin \left(x-\frac{2 \pi}{3}\right)$
$y=-5 \sin(x-3)-2$
$y=2 \cos \left(x+\frac{5 \pi}{6}\right)-1.5$
$y=-2.8 \cos(x-8)+4$

Utiliza el gráfico a continuación para responder las preguntas 12 a 15.

Escribe una ecuación seno para la función cuya amplitud es positiva.
Escribe una ecuación coseno para la función cuya amplitud es positiva.
¿Con qué frecuencia se repite una curva seno o coseno? ¿Cómo puedes usar esta característica para ayudarte a escribir ecuaciones diferentes para el mismo gráfico?
Escribe una segunda ecuación seno y coseno con traslaciones horizontales distintas.

Utiliza el gráfico a continuación para responder las preguntas 16 a 20.

Escribe una ecuación seno para la función cuya amplitud es positiva.
Escribe una ecuación coseno para la función cuya amplitud es positiva.
Escribe una ecuación seno para la función cuya amplitud es negativa .
Escribe una ecuación coseno para la función cuya amplitud es negativa .
Describe las similitudes y las diferencias entre las cuatro ecuaciones de las preguntas 16 a 19.

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