Cambios en el Periodo de una Función Seno y Coseno

En esta sección, aprenderás a como cambiar el periodo de una función seno y coseno.

¿Cuál es el periodo de la función coseno $y=\cos [\pi (2x + 4)]$ ?

Guía

La última característica que podemos manipular en una curva seno y coseno es el periodo .

El periodo normal de una curva seno o coseno es $2 \pi$ . Para estirar la curva, el periodo tiene que ser más largo que $2 \pi$ .A continuación, tenemos dos curvas seno; una con un periodo de $4 \pi$ y la otra con un periodo de $\pi$ .

Para determinar el periodo de una ecuación, introducimos $b$ a la ecuación general. Por lo tanto, las ecuaciones son $y=a\sin b(x-h)+k$ y $y=a\cos b(x-h)+k$ , donde $a$ es la amplitud, $b$ es la frecuencia , $h$ es la traslación de fase, y $k$ es la traslación vertical. La frecuencia es el número de veces que la curva seno o coseno se repite en el periodo $2 \pi$ . Por lo tanto, la frecuencia y el periodo están indirectamente relacionados. En el caso de la primera curva seno, solo la mitad de esta está en $2 \pi$ . Por lo tanto, la ecuación será $y=\sin \frac{1}{2}x$ . La segunda curva seno logra dos curvas en $2 \pi$ , lo que hace a la ecuación $y=\sin 2x$ . Para encontrar el periodo de cualquier función seno o coseno, usa $\frac{2 \pi}{|b|}$ , donde $b$ es la frecuencia. En el primero de los dos gráficos anteriores esta es una fórmula válida $\frac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=2 \pi \cdot 2=4 \pi$ .

Ejemplo A

Determina el periodo de las funciones seno y coseno a continuación.

a) $y=-3 \cos 6x$

b) $y=2 \sin \frac{1}{4}x$

c) $y=\sin \pi x -7$

Solución: a) El 6 en la ecuación nos dice que hay 6 repeticiones dentro de $2 \pi$ . Por lo tanto, el periodo es $\frac{2 \pi}{6}=\frac{\pi}{3}$ .

b) El $\frac{1}{4}$ en la ecuación nos dice la frecuencia. El periodo es $\frac{2 \pi}{\frac{1}{4}}=2 \pi \cdot 4=8 \pi$ .

c) El $\pi$ es la frecuencia. El periodo es $\frac{2 \pi}{\pi}=2$ .

Ejemplo B

Grafica la parte a) del ejemplo anterior desde $[0, 2 \pi]$ . Determina donde está el valor máximo y el valor mínimo. Luego, señala el dominio y el rango.

Solución: La amplitud es -3, así que la curva estará estirada e invertida. El periodo es $\frac{\pi}{3}$ (del ejemplo anterior) y la curva debe repetirse 6 veces desde 0 hasta $2 \pi$ . El primer valor máximo es 3 y se encuentra en la mitad del periodo, o $x=\frac{\pi}{6}$ y luego se repite en $x=\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}, \ldots$ Al escribir esto como una fórmula, comenzamos en $\frac{\pi}{6}$ y sumamos $\frac{\pi}{3}$ para obtener así el próximo valor máximo, para que así cada punto sea $\left(\frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{3}n,3\right)$ donde $n$ es cualquier entero.

Los mínimos se encuentran en -3 y los valores de $x$ son múltiplos de $\frac{\pi}{3}$ . Los puntos serán $\left(\pm \frac{\pi}{3}n, -3\right)$ , una vez más $n$ es un entero. El dominio son todos los números reales y el rango es $y \in [-3,3]$ .

Ejemplo C

Encuentra todas las soluciones de la función del Ejemplo 2 desde $[0, 2 \pi]$ .

Solución: Previo a esta sección, los ceros no cambiaban en la frecuencia ya que, hasta este momento, no hemos cambiado el periodo. Ahora que el periodo puede cambiar, podemos tener un número distinto de ceros en $[0, 2\pi]$ . En este caso, habrá 6 veces más ceros que en la función madre. Para resolver esta función, establece $y = 0$ y resuelve para encontrar $x$ .

$0 &=-3 \cos 6x \\\0 &=\cos 6x$

Ahora, usa el inverso de la función coseno para determinar cuando el coseno es cero. Esto sucede en los múltiplos de $\frac{\pi}{2}$ .

$6x=\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2},\frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}, \frac{15 \pi}{2}, \frac{17\pi}{2}, \frac{19\pi}{2}, \frac{21\pi}{2}, \frac{23\pi}{2}$

No excedemos de $2 \pi$ debido a que dividimos por 6 para encontrar $x$ Todas estas respuestas deberán dividirse también por 6.

$x=\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{3\pi}{4}, \frac{11\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{17 \pi}{12}, \frac{19\pi}{12}, \frac{21\pi}{2}, \frac{23\pi}{12}$

$\frac{23 \pi}{12}<2\pi$ por lo tanto, hemos encontrado todos los ceros en el rango.

Revisión del Problema Introductorio Primero, debemos que la función este en forma de $y=a\cos b(x-h)+k$ . Por lo tanto, debemos factorizar el 2.

$y=\cos [\pi (2x + 4)]\\\y = \cos [2\pi(x + 2)]$

$2\pi$ es la frecuencia. Por lo tanto, el periodo es $\frac{2 \pi}{2\pi}=1$ .

Práctica Guiada

1. Determina el periodo de la función $y=\frac{2}{3}\cos\frac{3}{4}x$ .

2. Encuentra los ceros de la función del paso 1 desde $[0, 2\pi]$ .

3. Determina la ecuación de la función seno con una amplitud de -3 y un periodo de $8\pi$ .

Respuestas

1. El periodo es $\frac{2 \pi}{\frac{3}{4}}=2 \pi \cdot \frac{4}{3}=\frac{8 \pi}{3}$ .

2. Los ceros de la función solo se cumplirán cuando $y$ sea cero.

$0 &=\frac{2}{3} \cos \frac{3}{4}x \\\0 &=\cos \frac{3}{4}x \\\\frac{3}{4}x &=\cos^{-1}0=\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2} \\\x &=\frac{4}{3}\left(\frac{\pi}{2},\frac{3 \pi}{2}\right) \\\x &=\frac{2\pi}{3},2\pi$

3. La ecuación general de una curva seno es $y=a\sin bx$ . Sabemos que $a = -3$ y que el periodo es $8 \pi$ . Usemos esto para encontrar la frecuencia o, de otra forma, usemos $b$ .

$\frac{2\pi}{b} &=8\pi \\\\frac{2\pi}{8\pi} &=b \\\\frac{1}{4} &=b$

La ecuación de la curva es $y=-3\sin \frac{1}{4}x$ .

Vocabulario

Periodo: Distancia en la cual una curva seno o coseno se completa.

Frecuencia: Número de veces que se repite una curva en $2\pi$ .

Práctica

Encuentra el periodo de las funciones seno y coseno a continuación.

$y=5\sin 3x$
$y=-2\cos 4x$
$y=-3\sin 2x$
$y=\cos \frac{3}{4}x$
$y=\frac{1}{2}\cos 2.5x$
$y=4\sin 3x$

Usa la ecuación $y=5\sin 3x$ para responder las siguientes preguntas.

Grafica la función desde $[0, 2\pi]$ y encuentra el dominio y el rango.
Determina las coordenadas para el valor máximo y el valor mínimo.
Encuentra todos los ceros desde $[0, 2\pi]$ .

Usa la ecuación $y=\cos \frac{3}{4}x$ para responder las preguntas a continuación.

Grafica la función desde $[0, 4\pi]$ y encuentra el dominio y el rango.
Determina las coordenadas del valor máximo y del valor mínimo.
Encuentra todos los ceros desde $[0, 2\pi]$ .

Usa la ecuación $y=-3\sin 2x$ para responder las siguientes preguntas.

Grafica la función desde $[0, 2\pi]$ y encuentra el dominio y el rango.
Determina las coordenadas del valor máximo y del valor mínimo.
Encuentra todos los ceros desde $[0, 2\pi]$ .
¿Cuál es el dominio de cada función seno y coseno? ¿Puedes crear una regla general para el rango? De ser así, explica la regla.

Escribe la ecuación de la función seno en forma de $y=a\sin bx$ , con la amplitud y el periodo señalados.

Amplitud: -2 Periodo $\frac{3 \pi}{4}$
Amplitud: $\frac{3}{5}$ Periodo: $5 \pi$
Amplitud: 9 Periodo: 6
Desafío Encuentra todos los ceros desde $[0, 2\pi]$ de la función $y=\frac{1}{2}\sin 3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ .

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