Gráfica de la Tangente

En esta sección, aprenderás a cómo graficar una función tangente.

Tu misión, si eliges aceptarla, como el Agente Trigonometría es graficar la función $y=\frac{1}{2}\tan 4x$ . ¿Cuál es el periodo y los seros de la función?

Guía

El gráfico de la función tangente es muy distinto de las funciones seno y coseno. Primero, recuerda que el cociente de la tangente es $\tan \theta=\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$ . Expresado en radianes, la coordenada de la tangente sería $(\theta, \tan \theta)$

$x && \theta && 0 && \frac{\pi}{6} && \frac{\pi}{4} && \frac{\pi}{3} && \frac{\pi}{2} && \frac{2\pi}{3} && \frac{3\pi}{4} && \frac{5\pi}{6} && \pi \\\y && \tan \theta && 0 && \frac{\sqrt{3}}{3} && 1 && \sqrt{3} && \text{und.} && -\sqrt{3} && -1 && -\frac{\sqrt{3}}{3} && 0$

Después de $\pi$ , los valores de $y$ se repiten, lo que resulta en una función tangente periódica con un periodo de $\pi$ .

La parte del gráfico que está en color rojo representa las coordenadas de la tabla anterior. Al repetir esta parte del gráfico, obtenemos el gráfico completo de la tangente. Observa que hay asíntotas verticales en $x=-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ y $\frac{3\pi}{2}$ . Si extendemos el gráfico en cualquier dirección, seguirán habiendo asíntotas verticales en los múltiplos impares de $\frac{\pi}{2}$ . Por lo tanto, el dominio son todos los números reales o, $x\ne n\pi \pm\frac{\pi}{2}$ , donde $n$ es un entero. El rango serán todos los números reales. Al que con las funciones seno y coseno, puedes cambiar la amplitud, la traslación de fase y la traslación vertical.

La forma estándar de la ecuación es $y=a\tan b(x-h)+k$ donde $a, b, h,$ y $k$ se mantienen igual que en las otras funciones trigonométricas. Para mantener todo de la manera más simple posible, no veremos las traslaciones de fase $(k)$ en esta sección.

Ejemplo A

Grafica $y=3 \tan x+1$ from $[-2\pi, 2\pi]$ . Señala el dominio y el rango.

Solución: Primero, la amplitud es 3, lo que significa que el valor de $y$ se triplicará. Luego, trasladaremos la función 1 unidad hacia arriba.

Observa que las asíntotas verticales no cambian. El periodo de esta función sigue siendo $\pi$ . Por lo tanto, si vamos a cambiar el periodo de la función tangente, usaremos una fórmula diferente a la que usamos para el seno y coseno. Para cambiar el periodo de una función tangente, usa la fórmula $\frac{\pi}{|b|}$ .

El dominio serán todos los números reales, excepto donde estén las asíntotas. Por lo tanto, el dominio de esta función será $x\in \mathbb{R}, x \notin n\pi \pm \frac{\pi}{2}$ . El rango son todos los números reales.

Ejemplo B

Grafica $y=-\tan 2\pi$ desde $[0, 2\pi]$ y señala el dominio y el rango. Encuentra todos los ceros dentro de este dominio.

Solución: el periodo de esta función tangente será $\frac{\pi}{2}$ y las curvas se reflejarán en el eje $x$ .

El dominio son todos los números reales, $x \notin \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\pm \frac{\pi}{2}n$ donde $n$ es cualquier entero. El rango son todos los números reales. Para encontrar los ceros, establece $y = 0$ .

$0 &=-\tan 2x \\\0 &=\tan 2x \\\2x &=\tan^{-1}0=0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \\\x &=0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$

Ejemplo C

Grafica $y=\frac{1}{4}\tan\frac{1}{4}x$ desde $[0, 4\pi]$ y señala el dominio y el rango.

Solución: Esta función tiene un periodo de $\frac{\pi}{\frac{1}{4}}=4\pi$ . El dominio son todos los números reales, excepto $2\pi, 6\pi, 10\pi, 2\pi \pm 4\pi n$ , donde $n$ es cualquier entero. El rango son todos los números reales.

Revisión del Problema Introductorio El periodo es $\frac{\pi}{4}$ .

Los ceros están donde $y$ es cero.

$0 = \frac{1}{2}\tan 4x\\\0 &=\tan 4x \\\4x &=\tan ^{-1}0=0, \pi, 2\pi, 3\pi \\\x &=\frac{1}{4}(0, \pi, 2\pi, 3\pi ) \\\x &=0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3}{4}\pi$

Práctica Guiada

1. Encuentra el periodo de una función $y=-4\tan \frac{3}{2}x$ .

2. Encuentra los ceros de la función del ejercicio 1, desde $[0, 2\pi]$ .

3. Encuentra la ecuación de la función tangente con una amplitud de 8 y un periodo de $6\pi$ .

Respuestas

1. El periodo es $\frac{\pi}{\frac{3}{2}}=\pi \cdot \frac{2}{3}=\frac{2\pi}{3}$ .

2. Los ceros están donde $y$ es cero. $0 &=-4\tan \frac{3}{2}x \\\0 &=\tan \frac{3}{2}x \\\\frac{3}{2}x &=\tan ^{-1}0=0, \pi, 2\pi, 3\pi \\\x &=\frac{2}{3}(0, \pi, 2\pi, 3\pi ) \\\x &=0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi$

3. La ecuación general es $y=a\tan bx$ . Sabemos que $a = 8$ . Usemos el periodo para encontrar la frecuencia o $b$ .

$\frac{\pi}{b} &=6\pi \\\b &=\frac{\pi}{6\pi}=\frac{1}{6}$

La ecuación es $y=8\tan \frac{1}{6}x$ .

Vocabulario

Función Tangente: Función definida por las coordenadas $(\theta, \tan \theta)$ , donde $\theta$ es el ángulo central de la circunferencia de radio 1, y la tangente es el cociente de las funciones seno y coseno.

Práctica

Grafica las funciones tangente a continuación pasado la coordenada $[0, 4\pi]$ . Determina el periodo, el dominio y el rango.

$y=2\tan x$
$y=-\frac{1}{3}\tan x$
$y=-\tan 3x$
$y=4\tan 2x$
$y=\frac{1}{2}\tan 4x$
$y=-\tan \frac{1}{2}x$
$y=4+\tan x$
$y=-3+\tan 3x$
$y=1+\frac{2}{3}\tan \frac{1}{2}x$
Encuentra los ceros de la función del ejercicio 1.
Encuentra los ceros de la función del ejercicio 3.
Encuentra los ceros de la función del ejercicio 5.

Escribe la ecuación de la función tangente en forma de $y=a\tan bx$ , con la amplitud y el periodo entregados.

Amplitud: 3 Periodo: $\frac{3\pi}{2}$
Amplitud: $\frac{1}{4}$ Periodo: $2\pi$
Amplitud: -2,5 Periodo: 8
Desafío Grafica $y=2\tan \frac{1}{3}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1$ pasado la coordenada $[0, 6\pi]$ . Determina el dominio y el periodo.

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