Introducción a las Identidades Trigonométricas

En esta sección, aprenderás las identidades trigonométricas elementales y a cómo usarlas.

Se te entrega una lista de Identidades Trigonométricas. Una de esas identidades es $\cos (- \theta)=\cos \theta$ . Comprueba esta identidad sin graficar.

Guía

Las identidades trigonométricas son válidas para cualquier valor de $x$ (siempre y cuando el valor esté en el dominio). En la sección Funciones Trigonométricas Recíprocas del capítulo anterior, aprendiste sobre la secante, la cosecante y la cotangente, las cuales son todas funciones recíprocas del seno, el coseno y la tangente. Estas funciones pueden ser reescritas como las Identidades Recíprocas debido a que siempre son válidas.

Identidades Recíprocas: $\csc \theta=\frac{1}{\sin \theta} \quad \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta} \quad \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}$

Otras identidades involucran a: la tangente, variaciones del Teorema de Pitágoras, traslaciones de fase, y ángulos negativos. Los conoceremos en esta sección.

Ejemplo A

$\tan \theta=\frac{opposite}{adjacent}$ . Demuestra que $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ .Esta es la Identidad de la Tangente. .

Solución: Siempre que tratemos de verificar o probar una identidad, debemos comenzar con el enunciado que estamos tratando de probar y trabajar en pos de la respuesta deseada. En este caso, comenzaremos con $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ y probaremos que es equivalente a $\tan \theta=\frac{opposite}{adjacent}$ . Primero, reescribe el seno y coseno en términos de cocientes de los lados.

$\tan \theta&=\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\\&=\frac{\frac{opposite}{hypotenuse}}{\frac{adjacent}{hypotenuse}}$

Luego, reescribe la fracción compleja como una división y simplifica.

$&=\frac{opposite}{hypotenuse} \div \frac{adjacent}{hypotenuse} \\\&=\frac{opposite}{\cancel{hypotenuse}} \cdot \frac{\cancel{hypotenuse}}{adjacent} \\\&=\frac{opposite}{adjacent}$

Ahora tenemos lo que necesitábamos validar. Una vez que verifiques una identidad, puedes usarla para verificar otras identidades.

Ejemplo B

Demuestra que $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1$ es una identidad válida.

Solución: Cambia el seno y el coseno en la ecuación por los cocientes. En este ejemplo, usaremos a $y$ como el cateto opuesto, a $x$ como el cateto adyacente y a $r$ como la hipotenusa (o radio), como en la circunferencia de radio 1.

$\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta&=1 \\\\left(\frac{y}{r}\right)^2+\left(\frac{x}{r}\right)^2&=1 \\\\frac{y^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}&=1 \\\\frac{y^2+x^2}{r^2}&=1$

Ahora, reemplaza lo que está en el numerador de la fracción por la fórmula, $x^2+y^2=r^2$ del Teorema de Pitágoras.

$\frac{r^2}{r^2}=1$

Esta es una de las Identidades Pitagóricas y es muy útil.

Ejemplo C

Verifica que $\sin \left(\frac{\pi}{2}- \theta \right)=\cos \theta$ usando los gráficos de las funciones.

Solución: La función $y=\sin \left(\frac{\pi}{2} - x \right)$ es una traslación de fase de $\frac{\pi}{2}$ de la curva seno.

La función en rojo es $y=\sin x$ y la que está en azul es $y=\cos x$ . Si queremos trasladar $\frac{\pi}{2}$ , a la curva seno, esta se superpondrá perfectamente, lo que comprueba esta Identidad de Cofunción. .

Revisión del Problema Introductorio Primero, recuerda que el $\cos\theta=x$ , donde $(x, y)$ es el punto final del lado terminal de $\theta$ en la circunferencia de radio 1.

Ahora, si tenemos $\cos (- \theta)$ , ¿Cuál es su punto final en la circunferencia? Bueno, el signo negativo nos dice que el ángulo rotó en sentido de las manecillas del reloj, en vez de girar en sentido contrario. Si hacemos esta rotación, vemos que también el $\cos (- \theta)=x$ como se ilustra en el diagrama a continuación.

Sabemos que $x = x$ , por lo que podemos establecer que ambas expresiones son iguales.

$\cos\theta = \cos (- \theta)$

Ahora, podemos invertir esta identidad para obtener:

$\cos (- \theta)=\cos \theta$

Práctica Guiada

1. Prueba la Identidad Pitagórica: $1+ \tan^2 \theta=\sec^2 \theta$

2. Sin graficar, demuestra que $\sin (- \theta)=- \sin \theta$ .

Respuestas

1. Primero, usemos la Identidad de la Tangente y la Identidad Recíproca para cambiar la tangente y la secante en términos de seno y coseno.

$1+ \tan^2 \theta&=\sec^2 \theta \\\1+ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}&=\frac{1}{\cos^2 \theta}$

Ahora, transforma el 1en una fracción con una base de $\cos^2 \theta$ y luego simplifica.

$1+ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}&=\frac{1}{\cos^2 \theta} \\\\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta}+ \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}&=\frac{1}{\cos^2 \theta} \\\\frac{\cos^2 \theta+ \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}&=\frac{1}{\cos^2 \theta} \\\\frac{1}{\cos^2 \theta}&=\frac{1}{\cos^2 \theta}$

En el penúltimo paso, llegamos a la Identidad Pitagórica original $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta$ en el numerador del lado izquierdo. Por lo tanto, podemos sustituir aquella identidad por 1 para así dejar ambos lados de la ecuación iguales.

2. Primero, recuerda que $\sin \theta=y$ , donde $(x, y)$ es el punto final del lado terminal de $\theta$ en la circunferencia de radio 1.

Ahora, si tenemos $\sin (- \theta)$ , ¿Cuál es su punto final en la circunferencia? Bueno, el signo negativo nos dice que el ángulo rotó en dirección a las manecillas del reloj, en vez de la dirección contraria. Al observar la imagen, vemos que $\sin (- \theta)=-y$ . Por lo tanto, si $\sin \theta=y$ , entonces $- \sin \theta=-y$ Al combinar las ecuaciones, obtenemos $\sin (- \theta)=- \sin \theta$ .

Vocabulario

Identidad Trigonométrica: Ecuación trigonométrica que es válida para cualquier valor de $x$ (dentro del dominio).

Verificar: Probar una identidad trigonométrica.

Identidades Recíprocas: $\csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}, \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta},$ y $\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}$

Identidad de la Tangente: $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Identidad de la Tangente: $\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

Identidades Pitagóricas: $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1, 1+ \tan^2 \theta=\sec^2 \theta,$ y $1+ \cot^2 \theta=\csc^2 \theta$

Identidades de Cofunción: $\sin \left(\frac{\pi}{2}- \theta \right)=\cos \theta, \cos \left(\frac{\pi}{2}- \theta \right)=\sin \theta,$ y $\tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)=\cot \theta$

Identidades de Ángulos Negativos: $\sin (- \theta)=- \sin \theta, \cos(- \theta)=\cos \theta,$ y $\tan (- \theta)=- \tan \theta$

Práctica

Demuestra que $\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ siguiendo los pasos del Ejemplo.
Demuestra que $\tan \theta=\frac{\sec \theta}{\csc \theta}$ . Recurre al Ejemplo 1 para ayudarte.
Demuestra que $1+ \cot^2 \theta=\csc^2 \theta$ siguiendo los pasos del ejercicio 1 de la Práctica Guiada.
Explica por qué $\cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)=\sin \theta$ usando los gráficos de las dos funciones.
Siguiendo los pasos del ejercicio 2 de la Práctica Guiada, demuestra que $\cos (- \theta)=\cos \theta$ .
Explica por qué $\tan (- \theta)=- \tan \theta$ es válida, usando la Identidad de la Tangente y otras Identidades de Ángulos Negativos.

Verifica las siguientes identidades.

$\cot \theta \sec \theta=\csc \theta$
$\frac{\cos \theta}{\cot \theta}=\frac{\tan \theta}{\sec \theta}$
$\sin \theta \csc \theta=1$
$\cot(- \theta)=- \cot \theta$
$\tan x \csc x \cos x=1$
$\frac{\sin^2 \left(-x\right)}{\tan^2 x}= \cos ^2 x$

Demuestra que $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1$ es válida para los siguientes valores de $\theta$ .

$\frac{\pi}{4}$
$\frac{2 \pi}{3}$
$- \frac{7 \pi}{6}$
16. Recuerda que una función es impar si $f(-x)=-f(x)$ pero es par si $f(-x)=f(x)$ . ¿Cuáles de las seis funciones trigonométricas son impares? ¿Cuáles son pares?

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