Uso de las Identidades Trigonométricas para Encontrar Valores Trigonométricos Exactos

En esta sección, usarás las identidades trigonométricas elementales para encontrar valores trigonométricos exactos de ángulos que no sean ángulos críticos.

Se te entrega la siguiente información sobre $\theta$

$\sin \theta= \frac{2}{3}, \frac{\pi}{2} < \theta < \pi$

¿Qué son $\cos \theta$ y $tan\theta$ ?

Guía

Puedes usar las Identidades Pitagóricas, las de la Tangente y las Recíprocas para encontrar los 6 valores trigonométricos para ciertos ángulos. Veamos algunos ejemplos para que comprendas como realizar esto.

Ejemplo A

Dado que $\cos \theta=\frac{3}{5}$ y $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , encuentra $\sin \theta$ .

Solución: Usa la Identidad Pitagórica para encontrar $\sin \theta$ .

$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta&=1 \\\\sin^2 \theta+ \left(\frac{3}{5}\right)^2&=1 \\\\sin^2 \theta&=1- \frac{9}{25} \\\\sin^2 \theta&=\frac{16}{25} \\\\sin \theta&= \pm \frac{4}{5}$

Ya que $\theta$ está en el primer cuadrante, sabemos que el seno será positivo. $\sin \theta=\frac{4}{5}$

Ejemplo B

Encuentra $\tan \theta$ de $\theta$ del Ejemplo 1.

Solución: Usa la Identidad Tangente para encontrar $\tan \theta$ .

$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$

Ejemplo C

Encuentra las otras tres funciones trigonométricas de $\theta$ .

Solución: Usa las Identidades Recíprocas para encontrar la secante, la cosecante y la cotangente.

$\csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}=\frac{1}{\frac{4}{5}}= \frac{5}{4} \quad \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}=\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3} \quad \cot \theta =\frac{1}{\tan \theta}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

Revisión del Problema Introductorio

Primero, usa la Identidad Pitagórica para encontrar $\cos \theta$ .

$\sin^2 \theta+\cos^2 \theta&=1 \\\(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \theta =1 \\\\cos^2 \theta&=1- \frac{4}{9} \\\\cos^2 \theta&=\frac{5}{9} \\\\cos \theta&= \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

Sin embargo, ya que $\theta$ está restringido al segundo cuadrante, el coseno debe ser negativo. Por lo tanto, $cos \theta= -\frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Ahora usa la Identidad de la Tangente para encontrar $\tan \theta$ .

$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{-2}{\sqrt{5}} = \frac{-2\sqrt{5}}{5}$

Práctica Guiada

Encuentra los valores de las otras cinco funciones trigonométricas.

1. $\tan \theta=- \frac{5}{12}, \frac{\pi}{2} < \theta < \pi$

2. $\csc \theta=-8, \pi < \theta < \frac{3 \pi}{2}$

Respuestas

1. Primero, sabemos que $\theta$ está en el segundo cuadrante, lo que hace al seno positivo y al coseno negativo. Para este problema, usaremos la Identidad Pitagórica $1+ \tan^2 \theta=\sec^2 \theta$ para encontrar la secante.

$1+ \left(- \frac{5}{12}\right)^2&=\sec^2 \theta \\\1+ \frac{25}{144}&=\sec^2 \theta \\\\frac{169}{144}&=\sec^2 \theta \\\\pm \frac{13}{12}&=\sec \theta \\\- \frac{13}{12}&=\sec \theta$

Si $\sec \theta=- \frac{13}{12}$ , entonces $\cos \theta= - \frac{12}{13}$ . $\sin \theta=\frac{5}{13}$ ya que el valor de la tangente en el numerador es el seno y tiene el mismo valor en el denominador que el coseno. $\csc \theta=\frac{13}{5}$ y $\cot \theta=- \frac{12}{5}$ de las Identidades Recíprocas.

2. $\theta$ está en el tercer cuadrante, por lo tanto, seno y coseno son negativos. El recíproco de $\csc \theta=-8$ , nos dará $\sin \theta=- \frac{1}{8}$ . Ahora, usa la Identidad Pitagórica $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta=1$ para encontrar el coseno.

$\left(- \frac{1}{8}\right)^2+ \cos^2 \theta&=1 \\\\cos^2 \theta&=1- \frac{1}{64} \\\\cos^2 \theta&=\frac{63}{64} \\\\cos \theta&=\pm \frac{3 \sqrt{7}}{8} \\\\cos \theta&=- \frac{3 \sqrt{7}}{8} \\\$

$\sec \theta=- \frac{8}{3 \sqrt{7}}=- \frac{8 \sqrt{7}}{21}, \tan \theta= \frac{1}{3 \sqrt{7}}= \frac{\sqrt{7}}{21},$ y $\cot \theta=3 \sqrt{7}$

Práctica

¿En qué cuadrantes es positivo el valor seno? ¿En cuáles es negativo?
¿En qué cuadrantes es positivo el valor coseno? ¿En cuáles es negativo?
¿En qué cuadrantes es positivo el valor tangente? ¿En cuáles es negativo?

Encuentra los valores de las otras cinco funciones trigonométricas de $\theta$ .

$\sin \theta=\frac{8}{17},0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
$\cos \theta=- \frac{5}{6}, \frac{\pi}{2} < \theta < \pi$
$\tan \theta= \frac{\sqrt{3}}{4},0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
$\sec \theta=- \frac{41}{9}, \pi < \theta < \frac{3 \pi}{2}$
$\sin \theta=- \frac{11}{14}, \frac{3 \pi}{2} < \theta < 2 \pi$
$\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2},0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
$\cot \theta= \sqrt{5}, \pi < \theta < \frac{3 \pi}{2}$
$\csc \theta=4, \frac{\pi}{2} < \theta < \pi$
$\tan \theta=- \frac{7}{10}, \frac{3 \pi}{2} < \theta < 2 \pi$
Aparte de usar identidades, ¿De qué otra forma puedes encontrar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas?
Dado que $\cos \theta=\frac{6}{11}$ y que $\theta$ está en el $2^{nd}$ cuadrante, ¿Qué es $\sin(- \theta)$ ?
Dado que $\tan \theta=- \frac{5}{8}$ y que $\theta$ está en el $4^{th}$ cuadrante, ¿Qué es $\sec(- \theta)$ ?

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