Simplificar Expresiones Trigonométricas

En esta sección, usaras las identidades trigonométricas elementales para simplificar expresiones más complicadas.

¿Cómo podrías escribir la función trigonométrica $\cos\theta + \cos\theta(\tan^2\theta)$ de manera más simple?

Guía

Ahora que estás más familiarizado con las identidades trigonométricas, podemos usarlas para simplificar expresiones. Recuerda que puedes usar cualquier identidad de la sección Introducción a las Identidades Trigonométricas A continuación, veremos una lista de identidades:

Identidades Recíprocas: $\csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}, \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta},$ y $\cot \theta=\frac{1}{\tan \theta}$

Identidades de la Tangente y de la Cotangente: $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ y $\cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

Identidades Pitagóricas: $\sin^2 \theta+ \cos^2 \theta=1, 1+ \tan^2 \theta=\sec^2 \theta,$ y $1+ \cot^2 \theta=\csc^2 \theta$

Identidades De Cofunción: $\sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)=\cos \theta, \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)=\sin \theta,$ y $\tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)=\cot \theta$

Identidades de Ángulos Negativos: $\sin(- \theta)=- \sin \theta, \cos(- \theta)=\cos \theta,$ y $\tan(- \theta)=- \tan \theta$

Ejemplo A

Simplifica $\frac{\sec x}{\sec x-1}$ .

Solución: Al simplificar expresiones trigonométricas, una estrategia es cambiar todo a seno o coseno. Primero, podemos cambiar la secante a coseno por medio de la Identidad Recíproca.

$\frac{\sec x}{\sec x - 1} \rightarrow \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}-1}$

Ahora, combina el denominador en una fracción al multiplicar 1 por $\frac{\cos x}{\cos x}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}-1} \rightarrow \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}- \frac{\cos x}{\cos x}} \rightarrow \frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1- \cos x}{\cos x}}$

Transforma este problema en una división y luego simplifica.

$\frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1-\cos x}{\cos x}} \rightarrow & \frac{1}{\cos x} \div \frac{1- \cos x}{\cos x} \\\& \frac{1}{\cancel{\cos x}} \cdot \frac{\cancel{\cos x}}{1- \cos x} \\\& \frac{1}{1- \cos x}$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{\sin^4x- \cos^4x}{\sin^2x- \cos^2x}$ .

Solución: En este problema, debemos factorizar el numerador y el denominador y ver si alguno se puede despejar. En este contexto, puedes usar las reglas de la factorización de una ecuación cuadrática y las fórmulas cuadráticas especiales.

$\frac{\sin^4x - \cos^4x}{\sin^2x-\cos^2x} \rightarrow \frac{\cancel{\left(\sin^2x-\cos^2x\right)} \left(\sin^2x+ \cos^2x\right)}{\cancel{\left(\sin^2x-\cos^2x\right)}} \rightarrow \sin^2x+\cos^2x \rightarrow 1$

En el último paso, simplificamos el lado izquierdo de la Identidad Pitagórica. Por lo tanto, esta expresión simplificada es 1.

Ejemplo C

Simplifica $\sec \theta \tan^2 \theta+\sec \theta$ .

Solución: Primero, calcula el MCD.

$\sec \theta \tan^2 \theta+ \sec \theta \rightarrow \sec \theta(\tan^2 \theta+1)$

Ahora, $\tan^2 \theta+1=\sec^2 \theta$ de las Identidades Pitagóricas, así que sigue simplificando.

$\sec \theta(\tan^2 \theta+1) \rightarrow \sec \theta \cdot \sec^2 \theta \rightarrow \sec^3 \theta$

Revisión del Problema Introductorio

Observa que los términos en la expresión $\cos\theta + \cos\theta(\tan^2\theta)$ tienen el factor común $\cos\theta$ , por lo tanto, comienza por factorizar este término.

$\cos\theta + \cos\theta(\tan^2\theta)\\\\cos\theta(1 + tan^2\theta)$

Ahora, usa la identidad trigonométrica $1+ \tan^2 \theta=\sec^2 \theta$ , sustituye y simplifica.

$\cos\theta(1 + tan^2\theta)\\\=\cos\theta(sec^2\theta)\\\=\cos\theta(\frac{1}{cos^2\theta)}\\\=\frac{1}{cos\theta}\\\=\sec\theta$

Práctica Guiada

Simplifica las expresiones trigonométricas a continuación.

1. $\cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cot x$

2. $\frac{\sin \left(-x\right) \cos x}{\tan x}$

3. $\frac{\cot x \cos x}{\tan \left(-x\right) \sin \left(\frac{\pi}{2}-x \right)}$

Respuestas

1. Usa la Identidad de la Cotangente y la Identidad de Cofunción $\cos \left(\frac{\pi}{2}- \theta \right)=\sin \theta$ .

$\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cot x \rightarrow \cancel{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\cancel{\sin x}} \rightarrow \cos x$

2. Usa la Identidad de Ángulos Negativos y la Identidad de la Tangente.

$\frac{\sin \left(-x\right) \cos x}{\tan x} \rightarrow \frac{- \sin x \cos x}{\frac{\sin x}{\cos x}} \rightarrow - \cancel{\sin x} \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \rightarrow - \cos^2x$

3. En este problema usarás varias identidades.

$\frac{\cot x \cos x}{\tan \left(-x\right) \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \rightarrow \frac{\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \cos x}{- \frac{\sin x}{\cancel{\cos x}} \cdot \cancel{\cos x}} \rightarrow \frac{\frac{\cos^2 x}{\sin x}}{- \sin x} \rightarrow \frac{\cos^2x}{\sin x} \cdot - \frac{1}{\sin x} \rightarrow - \frac{\cos^2x}{\sin^2 x} \rightarrow - \cot^2x$

Práctica

Simplifica las expresiones a continuación.

$\cot x \sin x$
$\cos^2x \tan(-x)$
$\frac{\cos \left(-x\right)}{\sin \left(-x\right)}$
$\sec x \cos(-x)- \sin^2x$
$\sin x(1+ \cot^2x)$
$1- \sin^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$
$1- \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$
$\frac{\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \sec x}{1- \csc^2 x}$
$\frac{\cos^2x \tan^2x-1}{\cos^2x}$
$\cot^2x+ \sin^2x+ \cos^2(-x)$
$\frac{\sec x \sin x+ \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{1+ \cos x}$
$\frac{\cos \left(-x\right)}{1+ \sin \left(-x\right)}$
$\frac{\sin^2 \left(-x\right)}{\tan^2x}$
$\tan \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \cot x- \csc^2 x$
$\frac{\csc x \left(1- \cos^2x \right)}{\sin x \cos x}$

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