Verificación de una Identidad Trigonométrica

En esta sección, usa las identidades trigonométricas elementales para probar otras identidades.

Verifica que $\frac{\sin^2x}{\tan^2x}=1 - \sin^2x$ .

Guía

Esta sección continúa donde la anterior acaba. Ahora que te sientes más cómodo simplificando expresiones, vamos a desarrollar la idea y verificaremos identidades completas. A continuación, nos encontramos con un listado que te ayudará a verificar una identidad.

" Cambia todo en términos de seno y coseno.
" Usa las identidades siempre que puedas.
" Comienza por simplificar el lado izquierdo de la ecuación; luego, una vez que no puedas seguir simplificando ese lado, simplifica el lado derecho. Siempre que los dos lados de la ecuación terminen en la misma expresión final, la identidad será válida.

Ejemplo A

Verifica la identidad $\frac{\cot^2x}{\csc x}=\csc x - \sin x$ .

Solución: Trazaremos un línea vertical en vez de usar el signo igual para separar ambos lados de la ecuación, para que así podamos ver más claramente lo que hacemos en cada lado de la ecuación. Comienza por cambiar todo en términos de seno y coseno.

$\begin{array}{c|c c} \frac{\cot^2x}{\csc x} & \csc x - \sin x \\\\frac{\frac{\cos^2x}{\sin^2x}}{\frac{1}{\sin x}} & \frac{1}{\sin x}- \sin x \\\\frac{\cos^2x}{\sin x}\end{array}$

Ahora, parece que llegamos a un punto muerto en lado izquierdo. Combinemos el lado derecho dándoles el mismo denominador.

$\begin{array}{|c} \frac{1}{\sin x}- \frac{\sin^2x}{\sin x} \\\\frac{1- \sin^2x}{\sin x} \\\\frac{\cos^2x}{\sin x}\end{array}$

Ambos lados se reducen a la misma expresión, por lo tanto podemos concluir que esta es una identidad válida. En el último paso, usamos la Identidad Pitagórica, $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ , y aislamos $\cos^2x=1- \sin^2x$ .

Por lo general, hay más de una manera de verificar una identidad trigonométrica. Al probar esta identidad en el primer paso, en vez de cambiar la cotangente a $\frac{\cos^2x}{\sin^2x}$ , podríamos también haber sustituido la identidad $\cot^2x=\csc^2x-1$ .

Ejemplo B

Verifica la identidad $\frac{\sin x}{1- \cos x}=\frac{1+ \cos x}{\sin x}$ .

Solución: Multiplica el lado izquierdo de la ecuación por $\frac{1+ \cos x}{1+ \cos x}$ .

$\frac{\sin x}{1- \cos x}&= \frac{1+ \cos x}{\sin x} \\\\frac{1+ \cos x}{1+ \cos x} \cdot \frac{\sin x}{1- \cos x}&= \\\\frac{\sin \left(1+\cos x\right)}{1- \cos^2x}&= \\\\frac{\sin \left(1+\cos x\right)}{\sin^2x}&= \\\\frac{1+\cos x}{\sin x}&=$

Ambos lados son iguales.

Ejemplo C

Verifica la identidad $\sec(-x)=\sec x$ .

Solución: Cambia la secante a coseno.

$\sec(-x)= \frac{1}{\cos \left(-x\right)}$

De las Identidades de Ángulos Negativos, sabemos que $\cos (-x)=\cos x$ .

$&=\frac{1}{\cos x} \\\&=\sec x$

Revisión del Problema Introductorio Comienza por simplificar el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{\sin^2x}{\tan^2x}=\frac{\sin^2x}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}\\\=\cos^2x$ .

Ahora, simplifica el lado derecho de la ecuación. Usando la Identidad Trigonométrica,

$\sin^2x + \cos^2x = 1$ , obtenemos $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ .

$\cos^2x =\cos^2x$ y la ecuación ya está verificada.

Práctica Guiada

Verifica las identidades a continuación.

1. $\cos x \sec x=1$

2. $2- \sec^2x=1- \tan^2x$

3. $\frac{\cos \left(-x\right)}{1+ \sin \left(-x\right)}=\sec x+ \tan x$

Respuestas

1. Cambia la secante a coseno.

$\cos x \sec x&=\cos \cdot \frac{1}{\cos x} \\\&=1$

2. Usa la identidad $1+ \tan^2 \theta=\sec^2 \theta$ .

$2- \sec^2x&=2-(1+ \tan^2x) \\\&=2-1- \tan^2x \\\&=1- \tan^2x$

3. Comienza con las Identidades de Ángulos Negativos y multiplica tanto el denominador como el numerador por $\frac{1+ \sin x}{1+ \sin x}$ para dejar al denominador como un monomio.

$\frac{\cos \left(-x\right)}{1+ \sin \left(-x\right)}&=\frac{\cos x}{1- \sin x} \cdot \frac{1+ \sin x}{1+ \sin x} \\\&=\frac{\cos x \left(1+ \sin x \right)}{1- \sin^2x} \\\&=\frac{\cos x \left(1+ \sin x\right)}{\cos^2x} \\\&=\frac{1+ \sin x}{\cos x} \\\&=\frac{1}{\cos x}+ \frac{\sin x}{\cos x} \\\&=\sec x+ \tan x$

Práctica