Resolución de Ecuaciones Trigonométricas usando Álgebra

En esta sección, resolverás ecuaciones trigonométricas usando el álgebra.

Como el Agente Trigonometría, se te entrega la siguiente pista: $2 \sin x-\sqrt{2}=0$ . Si $0 \le x < 2 \pi$ , ¿Cuál(es) es (son) el valor(es) de $x$ .

Guía

En la sección anterior, verificamos identidades trigonométricas, las cuales son válidas para cualquier valor real de $x$ . En esta sección, resolveremos ecuaciones trigonométricas. Una ecuación solo es válida para algunos valores de $x$ .

Ejemplo A

Verifica que $\csc x-2=0$ cuando $x=\frac{5 \pi}{6}$ .

Solución: Sustituye x en la ecuación por $x=\frac{5 \pi}{6}$ para verificar si la ecuación es válida.

$\csc \left(\frac{5 \pi}{6}\right)-2&=0 \\\\frac{1}{\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)}-2&=0 \\\\frac{1}{\frac{1}{2}}-2&=0 \\\2-2&=0$

Es válido, por lo tanto, $x=\frac{5 \pi}{6}$ es una solución a la ecuación.

Ejemplo B

Resuelve $2 \cos x+1=0$ .

Solución: Para resolver esta ecuación, debemos aislar $\cos x$ y luego usa el inverso para encontrar los valores de $x$ cuando la ecuación sea válida. Este proceso ya lo realizaste anteriormente para encontrar ceros en las secciones de los gráficos de este capítulo.

$2 \cos x+1&=0 \\\2 \cos x&=-1 \\\\cos x&=- \frac{1}{2}$

Por lo tanto, ¿Cuándo es el $\cos x=- \frac{1}{2}$ ? Entre $0 \le x< 2 \pi, x=\frac{2 \pi}{3}$ y $\frac{4 \pi}{3}$ . Sin embargo, las funciones trigonométricas son periódicas, por lo tanto existen más soluciones que solo estas dos. Puedes escribir las soluciones generales como $x=\frac{2 \pi}{3} \pm 2 \pi n$ y $x=\frac{4 \pi}{3} \pm 2 \pi n$ , donde $n$ es un entero. Puedes comprobar tu respuesta graficando $y=\cos x$ y $y=- \frac{1}{2}$ en el mismo par de ejes. En el lugar donde se interceptan ambas líneas es donde están las soluciones.

Ejemplo C

Resuelve $5 \tan(x+2)-1=0$ , donde $0 \le x < 2 \pi$ .

Solución: En este ejemplo, tenemos un intervalo en el cual queremos encontrar $x$ . Por lo tanto, al final del problema, deberemos sumar o restar $\pi$ , el cual es el periodo de la tangente, para encontrar las soluciones correctas dentro del intervalo.

$5 \tan(x+2)-1&=0 \\\5 \tan(x+2)&=1 \\\\tan(x+2)&=\frac{1}{5}$

Usando el botón $\tan^{-1}$ de tu calculadora, obtenemos que $\tan^{-1} \left(\frac{1}{5}\right)=0.1974$ . Por lo tanto, obtenemos que:

$x+2&=0.1974 \\\x&=-1.8026$

Esta respuesta no está dentro del intervalo. Para encontrar las soluciones dentro del intervalo, suma $\pi$ un par de veces hasta que encontremos todas las soluciones en $[0, 2 \pi]$ .

$x&=-1.8026+ \pi=1.3390 \\\ &=1.3390+ \pi=4.4806$

Las dos soluciones son $x = 1.3390$ y 4.4806.

Revisión del Problema Introductorio Para resolver esta ecuación, debemos aislar $\sin x$ y luego usar el inverso para encontrar los valores de $x$ cuando la ecuación sea válida.

$2 \sin x -\sqrt{2}=0 \\\2 \sin x&=\sqrt{2} \\\\sin x&=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Entonces, ahora debemos encontrar los valores de $x$ para los que $\sin x =\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Sabemos de los triángulos especiales que este valor de seno es válido para un ángulo de $45^\circ$ pero ¿Es ese el único valor de $x$ para el cuál es verdadero?

Se nos dice que $0 \le x < 2 \pi$ . Recuerda que el seno es positivo tanto en el primero como en el segundo cuadrante, por lo tanto $\sin x =\frac{\sqrt{2}}{2}$ cuando $x$ también sea $135^\circ$ .

Práctica Guiada

1. Determina si $x=\frac{\pi}{3}$ es una solución para $2 \sin x=\sqrt{3}$ .

Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas que se encuentran en el intervalo $0 \le x< 2 \pi$ .

2. $3 \cos^2x-5=0$

3. $3 \sec(x-1)+2=0$

Respuestas

1. $2 \sin \frac{\pi}{3}= \sqrt{3} \rightarrow 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ Si, $x=\frac{\pi}{3}$ es una solución.

2. Aísla el $\cos^2x$ y luego calcula la raíz cuadrada de ambos lados. No olvides el signo $\pm$ !

$9 \cos^2x-5&=0 \\\9 \cos^2x&=5 \\\\cos^2x&=\frac{5}{9} \\\\cos x&=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

El $\cos x=\frac{\sqrt{5}}{3}$ en $x=0.243$ radianes (usa tu calculadora gráfica). Para encontrar el otro valor donde el coseno es positivo, réstale 0,243 a $2 \pi$ , $x=2 \pi -0.243=6.037$ radianes.

El $\cos x=- \frac{\sqrt{5}}{3}$ en $x=2.412$ radianes, el cual está en el $2^{nd}$ cuadrante. Para encontrar los otros valores donde el coseno es negativo (el $3^{rd}$ cuadrante), usa el ángulo de referencia, 0.243, y súmalo a $\pi$ . $x= \pi+0.243=3.383$ radianes.

3. Aquí, encontraremos la solución dentro del rango entregado, $0 \le x< 2 \pi$ .

$3 \sec(x-1)+2&=0 \\\3 \sec(x-1)&=-2 \\\\sec(x-1)&=- \frac{2}{3} \\\\cos(x-1)&=- \frac{3}{2}$

En este punto, podemos detenernos. El rango de la función coseno es de 1 a -1. $- \frac{3}{2}$ está fuera de este rango, por lo tanto no hay solución para esta ecuación.

Práctica

Determina si los valores de $x$ a continuación son soluciones a la ecuación $5+6 \csc x=17$ .

$x=- \frac{7 \pi}{6}$
$x=\frac{11 \pi}{6}$
$x=\frac{5 \pi}{6}$

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas. De no haber soluciones, escribe a un lado sin solución .

$1- \cos x=0$
$3 \tan x - \sqrt{3}=0$
$4 \cos x=2 \cos x+1$
$5 \sin x-2=2 \sin x+4$
$\sec x-4=- \sec x$
$\tan^2(x-2)=3$

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas que están dentro del intervalo $0 \le x < 2 \pi$ . De no haber soluciones, escribe a un lado sin solución .

$\cos x=\sin x$
$- \sqrt{3} \csc x=2$
$6 \sin(x-2)=14$
$7 \cos x -4=1$
$5+4 \cot^2x=17$
$2 \sin^2x-7=-6$

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