Resolución de Ecuaciones Trigonométricas Usando Técnicas Cuadráticas

En esta sección, resolverás ecuaciones trigonométricas usando la factorización y la Fórmula Cuadrática.

Como el Agente Trigonometría, se te da la siguiente pista: $2\cos^2 x-3 \cos x + 1=0$ . Si $x$ se encuentra en el intervalo $0 \le x < 2\pi$ , ¿Cuál(es) es (son) su(s) posible(s) valor(es)?

Guía

Otra forma de resolver una ecuación trigonométrica es usar la factorización o la fórmula cuadrática. Observemos algunos ejemplos.

Ejemplo A

Resuelve $\sin^2x-3 \sin x+2=0$ .

Solución: Esta ecuación seno se asemeja mucho a una ecuación cuadrática $x^2-3x+2=0$ cuya factorización resulta en $(x-2)(x-1)=0$ y las soluciones son $x = 2$ y 1. . Podemos factorizar la ecuación trigonométrica de la misma forma. En vez de solo estar $x$ , en los factores, también lo estará $\sin x$ .

$\sin^2x-3 \sin x+2&=0 \\\(\sin x-2)(\sin x-1)&=0 \\\\sin x=2 \ and \ \sin x&=1$

No hay solución para $\sin x=2$ y $\sin x=1$ cuando $x= \frac{\pi}{2} \pm 2 \pi n$ .

Ejemplo B

Resuelve $1- \sin x=\sqrt{3} \cos x$ en el intervalo $0 \le x < 2 \pi$ .

Solución: Para resolver esta ecuación, usa la Identidad Pitagórica $\sin^2x+\cos^2x=1$ . Resuelve para ambos cosenos y sustitúyelo en la ecuación. $\cos x=\sqrt{1- \sin^2 x}$

$1- \sin x&=\sqrt{3} \cdot \sqrt{1- \sin^2x} \\\(1- \sin x)^2&=\sqrt{3-3 \sin^2x}^2 \\\1-2 \sin x+\sin^2x&=3-3 \sin^2x \\\4 \sin^2x-2 \sin x-2&=0 \\\2 \sin^2x-\sin x-1&=0 \\\(2 \sin x+1)(\sin x-1)&=0$

Al resolver cada factor para encontrar , obtenemos $x$ , obtenemos $\sin x=- \frac{1}{2} \rightarrow x=\frac{7 \pi}{6}$ y $\frac{11 \pi}{6}$ y $\sin x=1 \rightarrow x=\frac{\pi}{2}$ .

Ejemplo C

Resuelve $\tan^2x-5 \tan x-9=0$ en el intervalo $0 \le x < \pi$ .

Solución: Esta ecuación no es factorizable, así que tienes usar la Fórmula Cuadrática.

$\tan x&=\frac{5 \pm \sqrt{\left(-5\right)^2-4 \left(1\right) \left(-9\right)}}{2} \\\&=\frac{5 \pm \sqrt{61}}{2} \\\& \approx 6.41 \ and \ -1.41$

$x \approx \tan^{-1} 6.41 \approx 1.416 \ \text{rad}$ y $x \approx \tan^{-1}-1.41 \approx -0.954 \ \text{rad}$

La primera respuesta se encuentra dentro del rango, pero la segunda no. Para hacer que -0,954 esté dentro del rango, debemos encontrar la respuesta en el segundo cuadrante, $\pi - 0.954=2.186 \ \text{rad}$ .

Revisión del Problema Introductorio Podemos resolver este problema usando la factorización.

$2\cos^2 x -3 \cos x + 1=0\\\(2\cos x - 1)(\cos x - 1) = 0\\\\cos x = \frac{1}{2} \text OR x = 1$ .

En el intervalo $0 \le x < 2\pi$ , $\cos x = \frac{1}{2}$ cuando $x = \frac{\pi}{3}$ y $\cos x = 1$ cuando $x = 0$ .

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas, usando cualquier método, que se encuentran en el intervalo $0 \le x < 2 \pi$ .

1. $\sin^2x \cos x=\cos x$

2. $\sin^2x=2 \sin(-x)+1$

3. $4 \cos^2x-2 \cos x-1=0$

Respuestas

1. Mueve todo hacia un lado de la ecuación y deja el otro lado en cero. Luego, factoriza el coseno.

$\sin^2x \cos x- \cos x&=0 \\\\cos x(\sin^2x-1)&=0 \\\\cos x(\sin x -1)(\sin x+1)&=0$

$\cos x&=0 \qquad \qquad \ \ \sin x=1 \qquad \ \ \sin x=-1 \\\x&=\frac{\pi}{2} \ and \ \frac{3 \pi}{2} \qquad \ x=\frac{\pi}{2} \qquad \qquad x=\frac{3 \pi}{2}$

2. Recuerda que $\sin(-x)=- \sin x$ de las Identidades de Ángulos Negativos.

$\sin^2x&=2 \sin(-x)+1 \\\\sin^2x&=-2 \sin x+1 \\\\sin^2x+2 \sin x+1&=0 \\\(\sin x+1)^2&=0 \\\\sin x&=-1 \\\x&=\frac{3 \pi}{2}$

3. Esta ecuación cuadrática no es factorizable, por lo tanto, debes usar la fórmula cuadrática.

$\cos x&=\frac{2 \pm \sqrt{2^2 -4 \left(4\right) \left(-1\right)}}{2 \left(4\right)} \\\&=\frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} \\\&=\frac{1 \pm 2 \sqrt{5}}{4}$

$x& \approx \cos^{-1} \left(\frac{1+ \sqrt{5}}{4}\right) && x \approx \cos^{-1} \left(\frac{1- \sqrt{5}}{4}\right) \\\& \approx \cos^{-1} 0.8090 \qquad and && \ \ \approx \cos^{-1}-0.3090 \\\& \approx 0.6283 && \ \ \approx 1.8850 \ (\text{reference angle is} \ \pi-1.8850 \approx 1.2570)$

Las otras soluciones que se encuentran en el rango son $x \approx 2 \pi - 0.6283 \approx 5.6549$ y $x \approx \pi + 1.2570 \approx 4.3982$ .

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas usando cualquier método. Encuentra todas las soluciones que se encuentran en el intervalo $0 \le x < 2 \pi$ . Las respuestas deben aproximarse a 4 decimales.

$2 \cos^2x-\sin x -1=0$
$4 \sin^2x+5 \sin x+1=0$
$3 \tan^2x- \tan x=0$
$2 \cos^2x+\cos(-x)-1=0$
$1- \sin x=\sqrt{2} \cos x$
$\sqrt{\sin x}=2 \sin x-1$
$\sin^3x-\sin x=0$
$\tan^2x-8 \tan x+7=0$
$5 \cos^2x+3 \cos x-2=0$
$\sin x- \sin x \cos^2x=1$
$\cos^2x-3 \cos x+2=0$
$\sin^2x \cos x=4 \cos x$
$\cos x \csc^2x+2 \cos x=6 \cos x$

Usando tu calculadora gráfica, grafica las siguientes ecuaciones y determina los puntos interceptos que se encuentran en el intervalo $0 \le x < 2 \pi$ .

$y&=\sin^2x \\\y&=3 \sin x-1$

$y&=4 \cos x-3 \\\y&=-2 \tan x$

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