Encuentra Valores Trigonométricos Exactos usando Fórmulas de Suma y Resta

En esta sección, usarás las fórmulas de suma y resta para encontrar valores exactos de ángulos que no sean ángulos críticos.

Mides con tu transportador un ángulo de $165^\circ$ . ¿Cómo puedes encontrar el seno exacto de este ángulo sin usar una calculadora?

Guía

Ya sabes que $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, \cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan 300 ^\circ = -\sqrt{3},$ etc., de los triángulos rectángulos especiales. En esta sección, aprenderemos a cómo encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos que no sean lo múltiplos de $30^\circ, 45^\circ,$ y $60^\circ$ . Usando las Fórmulas de Suma y Resta, es posible encontrar esos valores trigonométricos exactos.

Fórmulas de Suma y Resta

$\sin(a\pm b) &=\sin a \cos b \pm \cos a \sin b \\\\cos(a\pm b) &=\cos a \cos b \pm \sin a \sin b \\\\tan(a \pm b) &=\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \pm \tan a \tan b}$

Ejemplo A

Fórmulas de Suma y Resta $\sin 75^\circ$ .

Solución: Este es un ejemplo de cuando podemos usar la fórmula de suma del seno, $\sin(a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b$ , donde $a = 45^\circ$ y $b = 30^\circ$ .

$\sin 75^\circ &=\sin(45^\circ + 30 ^\circ) \\\&= \sin 45^\circ \cos 30^\circ +\cos 45^\circ \sin 30 ^\circ \\\&= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2} \\\&= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

En general, $\sin (a+b)\ne \sin a+\sin b$ y otros enunciados similares se pueden hacer para otras fórmulas de suma y resta.

Ejemplo B

Encuentra el valor exacto de $\cos \frac{11 \pi}{12}$ .

Solución: Para este ejemplo, podemos usar tanto la fórmula de suma del coseno como la fórmula de resta, $\frac{11\pi}{12}=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$ o $\frac{11\pi}{12}=\frac{7\pi}{6}-\frac{\pi}{4}$ . Sumemos la fórmula.

$\cos \frac{11\pi}{12} &=\cos \left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right) \\\&=\cos \frac{2\pi}{3}\cos \frac{\pi}{4}-\sin\frac{2\pi}{3}\sin \frac{\pi}{4} \\\&= -\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\\&= -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Ejemplo C

Encuentra el valor exacto de $\tan \left(-\frac{\pi}{12}\right)$ .

Solución: Este ángulo es la diferencia entre $\frac{\pi}{4}$ y $\frac{\pi}{3}$ .

$\tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right) &=\frac{\tan \frac{\pi}{4}-\tan \frac{\pi}{3}}{1+\tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{3}} \\\&=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

Este ángulo también es igual a $\frac{23 \pi}{12}$ . Podrías haber usado este valor y haber desarrollado $\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{5 \pi}{3}\right)$ y, de igual manera, habrías llegado a la misma respuesta.

Revision del Problema Introductorio

Podemos usar la fórmula de suma del seno, $\sin(a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b$ , donde $a = 120^\circ$ y $b = 45^\circ$ .

$\sin 165^\circ &=\sin(120^\circ + 45 ^\circ) \\\&= \sin 120^\circ \cos 45^\circ +\cos 120^\circ \sin 45 ^\circ \\\&= \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\\&= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\\$

Práctica Guiada

Encuentra los valores exactos de:

1. $\cos 15^\circ$

2. $\tan 255^\circ$

Respuestas

1. $\cos 15^\circ &=\cos(45^\circ - 30^\circ) \\\&= \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45 ^\circ \sin 30 ^\circ \\\&= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2} \\\&= -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

2. $\tan (210^\circ + 45^\circ) &=\frac{\tan 210^\circ+\tan 45^\circ}{1-\tan 210^\circ \tan 45^\circ} \\\&= \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}+3}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}+3}{3-\sqrt{3}}$

Vocabulario

Fórmulas de Suma y Resta: $\sin(a\pm b) &=\sin a \cos b \pm \cos a \sin b \\\\cos (a \pm b) &=\cos a \cos b \mp \sin a \sin b \\\\tan (a \pm b) &=\frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$

Práctica

Encuentra el valor exacto para las funciones trigonométricas a continuación.

$\sin 15^\circ$
$\cos \frac{5\pi}{12}$
$\tan 345^\circ$
$\cos (-255^\circ)$
$\sin \frac{13 \pi}{12}$
$\sin \frac{17\pi}{12}$
$\cos 15^\circ$
$\tan (-15^\circ)$
$\sin 345^\circ$
Ahora, usa el $\sin 15^\circ$ del ejercicio 1 y encuentra el $\sin 345^\circ$ . ¿Llegas al mismo resultado? ¿Por qué? ¿Por qué no?
Usando el $\cos 15^\circ$ del ejercicio 7, encuentra el $\cos 165^\circ$ . ¿Cuál otra manera te permitiría encontrar el $\cos 165^\circ$ ?
Describe todo patrón que observes entre el seno, el coseno y la tangente de estos "nuevos" ángulos.
Usando tu calculadora, encuentra el $\sin 142^\circ$ . Ahora, usa la fórmula suma y tu calculadora para encontrar el $\sin 142^\circ$ usando $83^\circ$ y $59^\circ$ .
Usa la fórmula de resta para encontrar el $\sin 142^\circ$ con cualquiera de los dos ángulos que elijas. ¿Llegas al mismo resultado? ¿Por qué? ¿Por qué no?
Desafío Usando $\sin (a+b)=\sin a \cos b +\cos a \sin b$ y $\cos (a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$ , demuestra que $\tan (a+b)=\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \tan b}$ .

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