Simplifica Expresiones Trigonométricas usando las Fórmulas de Suma y Resta

En esta sección, usarás las fórmulas de suma y resta para simplificar expresiones.

Como el Agente Trigonometría, se te entrega la siguiente pista: $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$ . ¿Cómo podrías simplificar esta expresión para que resolver tu caso sea más sencillo?

Guía

También podemos usar las fórmulas de suma y resta para simplificar expresiones trigonométricas.

Ejemplo A

El $\sin a = -\frac{3}{5}$ y $\cos b =\frac{12}{13}$ . $a$ está en el $3^{rd}$ cuadrante y $b$ está en el $1^{st}$ . Encuentra $\sin(a+b)$ .

Solución: Primero, debemos encontrar $\cos a$ y $\sin b$ . Usando el Teorema de Pitágoras, obtenemos que los tramos faltantes son 4 y 5 respectivamente. Por lo tanto, $\cos a=-\frac{4}{5}$ ya que se encuentra en el $3^{rd}$ cuadrante y $\sin b = \frac{5}{13}$ . Ahora, usa las fórmulas apropiadas.

$\sin (a+b) &=\sin a \cos b + \cos a \sin b \\\&= -\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+-\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13} \\\&= -\frac{56}{65}$

Ejemplo B

Usando la información del Ejemplo 1, encuentra $\tan (a+b)$ .

Solución: Sabemos a partir del coseno y seno de $a$ y $b$ , que $\tan a=\frac{3}{4}$ y $\tan b=\frac{5}{12}$ .

$\tan (a+b) &=\frac{\tan a +\tan b}{1-\tan a \tan b} \\\&= \frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{12}}{1-\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{12}} \\\&= \frac{\frac{14}{12}}{\frac{11}{16}}=\frac{56}{33}$

Ejemplo C

Simplifica $\cos (\pi - x)$ .

Solución: Desarrolla la ecuación usando la fórmula de resta y luego simplifica.

$\cos (\pi - x) &=\cos \pi \cos x +\sin \pi \sin x \\\&=-1\cdot \cos x +0\cdot \sin x \\\&=-\cos x$

Revisión del Problema Introductorio Puedes desarrollar la expresión usando la fórmula de resta y luego simplifica.

$\sin(\frac{\pi}{2} - x)=\sin \frac{\pi}{2} \cos x - \cos \frac{\pi}{2} \sin x \\\&=1\cdot \cos x - 0\cdot \sin x \\\&=cos x$

Práctica Guiada

1. Usando la información del Ejemplo 1, encuentra $\cos(a-b)$ .

2. Simplifica $\tan (x+\pi)$ .

Respuestas

1. $\cos(a-b) &=\cos a \cos b + \sin a \sin b \\\&=-\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+-\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13} \\\&=-\frac{63}{65}$

2. $\tan (x+\pi)&=\frac{\tan x +\tan \pi}{1-\tan x \tan \pi} \\\&=\frac{\tan x +0}{1-\tan 0} \\\&=\tan x$

Práctica

$\sin a =-\frac{8}{17}, \pi \le a < \frac{3\pi}{2}$ y $\sin b =-\frac{1}{2}, \frac{3\pi}{2}\le b <2\pi$ . Encuentra los valores trigonométricos exactos de:

$\sin (a+b)$
$\cos (a+b)$
$\sin (a-b)$
$\tan (a+b)$
$\cos (a-b)$
$\tan (a-b)$

Simplifica las expresiones a continuación.

$\sin (2\pi-x)$
$\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)$
$\cos (x+\pi)$
$\cos \left(\frac{3\pi}{2}-x\right)$
$\tan(x+2\pi)$
$\tan(x-\pi)$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right)$
$\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)$
$\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

Determina si las expresiones trigonométricas a continuación son verdaderas o falsas.

$\sin(\pi - x)=\sin (x-\pi)$
$\cos(\pi - x)=\cos (x-\pi)$
$\tan(\pi - x)=\tan (x-\pi)$

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