Resolución de Ecuaciones Trigonométricas usando Fórmulas de Suma y Resta

En esta sección, resolverás ecuaciones trigonométricas usando fórmulas de suma y resta.

Como el Agente Trigonometría, se te entrega ahora una parte del puzle: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = -1$ . ¿Cuál es el valor de $x$ ?

Guía

Finalmente, podemos usar las fórmulas de suma y resta para resolver ecuaciones trigonométricas. En este concepto, solo nos encontraremos con soluciones que se encuentran en el intervalo $0\le x <2\pi$ .

Ejemplo A

Resuelve $\cos (x-\pi)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Solución: Usa la fórmula para simplificar el lado izquierdo de la ecuación y luego resuelve para obtener $x$ .

$\cos (x-\pi) &=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\\cos x \cos \pi +\sin x \sin \pi &=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\-\cos x &=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\cos x &=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

El coseno negativo se encuentra en el $2^{nd}$ y $3^{rd}$ cuadrante $x=\frac{3\pi}{4}$ y $\frac{5\pi}{4}$ .

Ejemplo B

Resuelve $\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1=\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ .

Solución:

$\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1 &=\sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \\\\sin x \cos \frac{\pi}{4}+\cos x \sin \frac{\pi}{4}+1 &=\sin \frac{\pi}{4}\cos x -\cos \frac{\pi}{4}\sin x \\\\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+1 &=\frac{\sqrt{2}}{2}.\cos x -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x \\\\sqrt{2} \sin x &=-1 \\\\sin x &=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

En el intervalo, $x=\frac{5\pi}{4}$ y $\frac{7\pi}{4}$ .

Ejemplo C

Resuelve $2\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\tan \frac{\pi}{3}$ .

Solución:

$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) &=\tan \frac{\pi}{3} \\\2\left(\sin x \cos \frac{\pi}{3}+\cos x \sin \frac{\pi}{3}\right) &=\sqrt{3} \\\2\sin x \cdot \frac{1}{2}+2\cos x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} &=\sqrt{3} \\\\sin x +\sqrt{3}\cos x &=\sqrt {3} \\\\sin x &=\sqrt{3}(1-\cos x) \\\\sin ^2x &=3(1-2\cos x+\cos ^2x) \qquad \text{square both sides} \\\1-\cos ^2x &=3-6\cos x + 3\cos ^2 x \qquad \ \ \text{substitute} \ \sin ^2{x} = 1-\cos ^2x \\\0 &=4\cos^2x-6\cos x +2 \\\0 &=2\cos^2x-3\cos x +1$

En este punto, podemos factorizar la ecuación para que sea $(2\cos x -1)(\cos x -1)=0$ . $\cos x =\frac{1}{2}$ , por lo tanto $x=0, \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}$ . Se precavido con estas respuestas. Al comprobar estas soluciones, resulta que $\frac{5\pi}{3}$ no sirve.

$2\sin\left(\frac{5\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right) &=\tan \frac{\pi}{3} \\\2\sin 2\pi &=\sqrt{3} \\\0 &\ne \sqrt{3}$

Por lo tanto, $\frac{5\pi}{3}$ es una solución no perteneciente.

Revisión del Problema Introductorio

En la sección anterior, resolvimos la expresión $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$ como:

$\sin(\frac{\pi}{2} - x)=\sin \frac{\pi}{2} \cos x - \cos \frac{\pi}{2} \sin x \\\&=1\cdot \cos x - 0\cdot \sin x \\\&=cos x$

Por lo tanto, lo que estás buscando es el valor de $x$ donde el $\cos x = -1$ .

El coseno de $180^\circ$ es igual a $-1$ .

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones que están dentro del intervalo $0\le x<2\pi$ .

1. $\cos(2\pi - x)=\frac{1}{2}$

2. $\sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right)+1 = \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$

3. $\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\tan \frac{\pi}{4}$

Respuestas

1. $\cos (2\pi-x) &=\frac{1}{2} \\\\cos 2\pi \cos x +\sin 2 \pi \sin x &=\frac{1}{2} \\\\cos x &=\frac{1}{2} \\\x &=\frac{\pi}{3} \ and \ \frac{5\pi}{3}$

2. $\sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right)+1 &=\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\\\sin \frac{\pi}{6}\cos x-\cos \frac{\pi}{6}\sin x +1 &=\sin x \cos \frac{\pi}{6}+\cos x \sin \frac{\pi}{6} \\\\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+1 &=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x +\frac{1}{2} \cos x \\\1 &=\sqrt{3}\sin x \\\\frac{1}{\sqrt{3}} &=\sin x \\\x &=\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.6155 \ and \ 2.5261 \ \text{rad}$

3. $\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right) &=\tan \frac{\pi}{4} \\\\cos \frac{\pi}{2} \cos x - \sin \frac{\pi}{2} \sin x &=1 \\\-\sin x &=1 \\\\sin x &=-1 \\\x &=\frac{3\pi}{2}$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas que están dentro del intervalo $0\le x < 2\pi$ .

$\sin (x-\pi)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(2\pi +x)=-1$
$\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$
$\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}$
$\sin \left(x+\frac{3\pi}{4}\right)+\sin \left(x-\frac{3\pi}{4}\right)=1$
$\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
$\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+1$
$\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=1$
$\tan(x+\pi)+2\sin (x+\pi)=0$
$\tan (x+\pi)+\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$
$\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$
$\sin \left(x-\frac{5\pi}{3}\right)-\sin \left(x-\frac{2\pi}{3}\right)=0$
$4\sin (x+\pi)-2=2\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
$1+2\cos(x-\pi)+\cos x =0$
Aplicación en la Vida Real La altura , $h$ (en pies) de dos personas que se encuentran en asientos diferentes de una rueda de la fortuna, se puede expresar como $h_1=50\cos 3t+46$ y $h_2=50\cos 3\left(t-\frac{3\pi}{4}\right)+46$ donde $t$ es el tiempo (en minutos). ¿En qué momento la altura es la misma para ambas personas?

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