Encuentra Valores Trigonométricos Exactos usando Fórmulas de Ángulo Doble y de Ángulo Medio

En esta sección, usarás fórmulas de ángulo doble y de ángulo medio para encontrar valores exactos de ángulos que no sean ángulos críticos.

Tú objetivo es encontrar el valor exacto de $\tan \frac{3\pi}{8}$ . ¿Cómo podrías encontrar este valor sin recurrir a una calculadora?

Guía

En la sección anterior, sumamos dos ángulos diferentes entre sí para encontrar valores exactos de funciones trigonométricas. En esta sección, aprenderemos a cómo encontrar los valores exactos de funciones trigonométricas para ángulos que son la mitad o el doble de otros ángulos. Ahora, conoceremos las Fórmulas de Ángulo Doble $(2a)$ y de Ángulo Medio $\left(\frac{a}{2}\right)$ .

Fórmulas de Ángulo Doble y de Ángulo Medio

$\cos 2a&=\cos^2 a- \sin^2a && \sin 2a=2 \sin a \cos a \\\&=2 \cos^2 a-1 && \tan 2a=\frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} \\\&=1- \sin^2a \\\\sin \frac{a}{2}&= \pm \sqrt{\frac{1- \cos a}{2}} && \tan \frac{a}{2}=\frac{1- \cos a}{\sin a} \\\\cos \frac{a}{2}&= \pm \sqrt{\frac{1+ \cos a}{2}} && \qquad \ \ =\frac{\sin a}{1+ \cos a}$

Los signos de $\sin \frac{a}{2}$ y $\cos \frac{a}{2}$ dependen del cuadrante en el que $\frac{a}{2}$ se encuentre. Para $\cos 2a$ y $\tan \frac{a}{2}$ se puede usar cualquier fórmula para resolver para obtener el valor exacto.

Ejemplo A

Encuentra el valor exacto de $\cos \frac{\pi}{8}$ .

Solución: $\frac{\pi}{8}$ está en el primer cuadrante y es la mitad de $\frac{\pi}{4}$ .

$\cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}\right)&=\sqrt{\frac{1+ \cos \frac{\pi}{4}}{2}} \\\&=\sqrt{\frac{1+ \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\\&=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2}} \\\&=\frac{\sqrt{2+ \sqrt{2}}}{2}$

Ejemplo B

Encuentra el valor exacto de $\sin 2a$ si el $\cos a=- \frac{4}{5}$ y $\frac{3 \pi}{2} \le a < 2 \pi$ .

Solución: Para usar la fórmula de ángulo doble del seno, también necesitamos encontrar el $\sin a$ , el cual puede ser $\frac{3}{5}$ ya que $a$ está en el $4^{th}$ cuadrante.

$\sin 2a&=2 \sin a \cos a \\\&=2 \cdot \frac{3}{5} \cdot - \frac{4}{5} \\\&=- \frac{24}{25}$

Ejemplo C

Encuentra el valor exacto de $\tan 2a$ para $a$ del Ejemplo 2.

Solución: Usa $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{3}{5}}{- \frac{4}{5}}=- \frac{3}{4}$ para resolver y obtener $\tan 2a$ .

$\tan 2a=\frac{2 \cdot - \frac{3}{4}}{1- \left(- \frac{3}{4}\right)^2}=\frac{- \frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}= - \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7}=- \frac{24}{7}$

Revisión del Problema Introductorio

$\frac{3\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{4}$ por lo tanto, podemos usar la fórmula $tan \frac{a}{2} =\frac{\sin a}{1+ \cos a}$ para $a=\frac{3\pi}{4}$

$\tan \frac{3\pi}{8} =\frac {\sin \frac{3\pi}{4}}{1+ \cos \frac{3\pi}{4}}\\\=\frac {\frac{\sqrt{2}}{2}}{{1 +\frac{-\sqrt{2}}{2}}}$

Si simplificamos esta expresión, obtenemos $\sqrt{2} + 1$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra el valor exacto de $\cos \left(-\frac{5 \pi}{8}\right)$ .

2. $\cos a=\frac{4}{7}$ y $0 \le a < \frac{\pi}{2}$ . Encuentra:

a) $\sin 2a$

b) $\tan \frac{a}{2}$

Respuestas

1. $- \frac{5 \pi}{8}$ se encuentra en el $3^{rd}$ cuadrante.

$- \frac{5 \pi}{8}=\frac{1}{2} \left(- \frac{5 \pi}{4}\right) \rightarrow \cos \frac{1}{2} \left(- \frac{5 \pi}{4}\right)=- \sqrt{\frac{1+ \cos \left(- \frac{5 \pi}{4}\right)}{2}}=-\sqrt{\frac{1- \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2- \sqrt{2}}}{2}$

2. Primero, encuentra $\sin a$ . $4^2+y^2=7^2\rightarrow y=\sqrt{33}$ , por lo tanto $\sin a=\frac{\sqrt{33}}{7}$

a) $\sin 2a=2 \cdot \frac{\sqrt{33}}{7} \cdot \frac{4}{7}=\frac{8 \sqrt{33}}{49}$

b) Puedes usar ambas fórmulas $\tan \frac{a}{2}$ .

$\tan \frac{a}{2}=\frac{1- \frac{4}{7}}{\frac{\sqrt{33}}{7}}=\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{\sqrt{33}}=\frac{3}{\sqrt{33}}=\frac{\sqrt{33}}{11}$

Vocabulario

Fórmulas de Ángulo Doble y de Ángulo Medio: $\cos 2a&=\cos^2 a- \sin^2a && \sin 2a=2 \sin a \cos a \\\&=2 \cos^2 a-1 && \tan 2a=\frac{2 \tan a}{1- \tan^2 a} \\\&=1- \sin^2a \\\\sin \frac{a}{2}&= \pm \sqrt{\frac{1- \cos a}{2}} && \tan \frac{a}{2}=\frac{1- \cos a}{\sin a} \\\\cos \frac{a}{2}&= \pm \sqrt{\frac{1+ \cos a}{2}} && \qquad \ \ =\frac{\sin a}{1+ \cos a}$

Práctica

Encuentra el valor exacto de los ángulos a continuación.

$\sin 105^\circ$
$\tan \frac{\pi}{8}$
$\cos \frac{5 \pi}{12}$
$\cos 165^\circ$
$\sin \frac{3 \pi}{8}$
$\tan \left(- \frac{\pi}{12}\right)$
$\sin \frac{11 \pi}{8}$
$\cos \frac{19 \pi}{12}$

El $\cos a= \frac{5}{13}$ y $\frac{3 \pi}{2} \le a < 2 \pi$ . Encuentra:

$\sin 2a$
$\cos \frac{a}{2}$
$\tan \frac{a}{2}$
$\cos 2a$

El $\sin a=\frac{8}{11}$ y $\frac{\pi}{2} \le a < \pi$ . Encuentra:

$\tan 2a$
$\sin \frac{a}{2}$
$\cos \frac{a}{2}$
$\sin 2a$

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