Simplifica Expresiones Trigonométricas usando Fórmulas de Ángulo Doble y Ángulo Medio

En esta sección, aplicarás las fórmulas de ángulo doble y ángulo medio para simplificar expresiones más complicadas.

Como el Agente Trigonometría, se te entrega la siguiente pista encriptada:

$\frac{\tan 2x}{\frac{tan x}{1 + \tan x}}$ ¿Cómo simplificarías esta pista?

Guía

También podemos usar las fórmulas de ángulo doble y ángulo medio para simplificar expresiones trigonométricas.

Ejemplo A

Simplifica $\frac{\cos 2x}{\sin x \cos x}$ .

Solución: Usa $\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a$ y luego factoriza.

$\frac{\cos 2x}{\sin x \cos x}&=\frac{\cos^2x- \sin^2x}{\sin x+ \cos x} \\\&=\frac{\left(\cos x- \sin x\right) \cancel{\left(\cos x + \sin x\right)}}{\cancel{\sin x+ \cos x}} \\\&=\cos x- \sin x$

Ejemplo B

Encuentra la fórmula para $\sin 3x$ .

Solución: Deberás usar las fórmulas de suma y de ángulo doble $\sin 3x=\sin(2x+x)$

$\sin 3x&=\sin (2x+x) \\\&=\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x \\\&=2 \sin x \cos x \cos x+ \sin x(2 \cos^2x-1) \\\&=2 \sin x \cos^2x+2 \sin x \cos^2 x- \sin x \\\&=4 \sin x \cos^2x- \sin x \\\&=\sin x(4 \cos^2x-1)$

Veremos otras posibilidades para el $\sin 3x$ debido a las distintas fórmulas para $\cos 2a$ en el Problema Establecido.

Ejemplo C

Verifica la identidad $\cos x+2 \sin^2 \frac{x}{2}=1$ .

Solución: Simplifica el lado izquierdo. Usa la fórmula del ángulo medio.

$& \cos x+2 \sin^2 \frac{x}{2} \\\& \cos x+2 \left(\sqrt{\frac{1- \cos x}{2}}\right)^2 \\\& \cos x+2 \cdot \frac{1- \cos x}{2} \\\& \cos x+1- \cos x \\\& 1$

Revisión del Problema Introductorio

Usa $\tan 2a=\frac {2\tan a}{1 - \tan^2 a}$ y luego factoriza.

$\frac{\tan 2x}{\frac{tan x}{1 + \tan x}}=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}\cdot \frac{1 + \tan x}{tan x} \\\=\frac{2\tan x}{(1 + \tan x)(1 - \tan x)}\cdot \frac{1 + \tan x}{tan x} =\frac{2}{1-\tan x}$

Práctica Guiada

1. Simplifica $\frac{\sin 2x}{\sin x}$ .

2. Verifica $\cos x+2 \cos^2 \frac{x}{2}=1+ 2 \cos x$ .

Respuestas

1. $\frac{\sin 2x}{\sin x}=\frac{2 \sin x \cos x}{\sin x}=2 \cos x$

2. $\cos x+2 \cos^2 \frac{x}{2}&=1+2 \cos x \\\\cos x+2 \sqrt{\frac{1+ \cos x}{2}}^2&= \\\\cos x+1 + \cos x&= \\\1+2 \cos x&=$

Práctica

Simplifica las expresiones a continuación.

$\sqrt{2+2 \cos x} \left(\cos \frac{x}{2}\right)$
$\frac{\cos 2x}{\cos^2x}$
$\tan 2x(1+ \tan x)$
$\cos 2x- 3 \sin^2x$
$\frac{1+\cos 2x}{\cot x}$
$(1+ \cos x)^2 \tan \frac{x}{2}$

Verifica las identidades a continuación.

$\cot \frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1- \cos x}$
$\frac{\sin x}{1+ \cos x}=\frac{1- \cos x}{\sin x}$
$\frac{\sin 2x}{1+ \cos 2x}= \tan x$
$(\sin x+ \cos x)^2=1+ \sin 2x$
$\sin x \tan \frac{x}{2}+2 \cos x=2 \cos^2 \frac{x}{2}$
$\cot x+ \tan x=2 \csc 2x$
$\cos 3x=4 \cos^3x-3 \cos x$
$\cos 3x=\cos^3x-3 \sin^2x \cos x$
$\sin 2x-\tan x=\tan x \cos 2x$
$\cos^4x-\sin^4x=\cos 2x$

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