Resolución de Ecuaciones Trigonométricas usando Fórmulas de Ángulo Doble y Ángulo Medio

En esta sección, resolverás ecuaciones trigonométricas usando fórmulas de ángulo doble y ángulo medio.

Acertijo Trigonométrico 4: Soy un ángulo x de manera tal que $0\le x <2\pi$ . Cumplo con ecuación $\sin 2x - \sin x=0$ . ¿Qué ángulo soy?

Guía

Finalmente, podemos usar las fórmulas de ángulo doble y ángulo medio para resolver ecuaciones trigonométricas.

Ejemplo A

Resuelve $\tan 2x+\tan x=0$ cuando $0\le x <2\pi$ .

Solución: Cambia la $\tan 2x$ y luego simplifica.

$\tan 2x + \tan x &=0 \\\\frac{2\tan x}{1-\tan ^2 x}+\tan x &=0 \\\2\tan x +\tan x(1-\tan ^2x) &=0 \quad \rightarrow \text{Multiply everything by} \ 1-\tan^2x \text{ to eliminate denominator.}\\\2\tan x +\tan x -\tan ^3 x &=0 \\\3\tan x - \tan ^3 x &=0 \\\\tan x(3-\tan^2 x) &=0$

Iguala cada factor a cero y luego resuelve.

$&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3-\tan ^2x =0 \\\&\ \ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ -\tan ^2 x =-3 \\\&\tan x=0 \qquad \qquad \qquad and \qquad \qquad \ \tan^2 x=3 \\\& \qquad x=0 \ and \ \pi \ \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \tan x =\pm \sqrt{3} \\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ x =\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

Ejemplo B

Resuelve $2\cos \frac{x}{2}+1=0$ cuando $0\le x<2\pi$ .

Solución: En este caso, no tienes que usar la fórmula de ángulo medio. Resuelve para obtener $\frac{x}{2}$ .

$2\cos \frac{x}{2}+1 &=0 \\\2\cos \frac{x}{2} &=-1 \\\\cos \frac{x}{2} &= -\frac{1}{2}$

Ahora, encuentra $\cos a = -\frac{1}{2}$ y luego resuelve dividiendo por 2 para obtener $x$ .

$\frac{x}{2} &=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3} \\\&=\frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$

Ahora, la segunda solución no se encuentra dentro de nuestro rango, por lo que la única solución sería $x=\frac{4\pi}{3}$ .

Ejemplo C

Resuelve $4\sin x \cos x = \sqrt{3}$ para obtener $0\le x < 2\pi$ .

Solución: Factoriza el 4 del lado izquierdo de la ecuación con tal de obtener un 2 y usa la fórmula $\sin 2x$ .

$4\sin x \cos x &=\sqrt{3} \\\2\cdot 2\sin x \cos x &=\sqrt{3} \\\2 \cdot \sin 2x &=\sqrt{3} \\\\sin 2x &=\frac{\sqrt{3}}{2} \\\2x &= \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3} \\\x &= \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

Revisión del Problema Introductorio

Usa la fórmula de ángulo doble y luego simplifica.

$\sin 2x - \sin x = 0\\\2\sin x \cos x - \sin x = 0\\\\sin x(2\cos x - 1)= 0\\\\sin x = 0 \text OR \cos x = \frac{1}{2}$

Bajo la restricción de $0\le x <2\pi$ , $\sin x = 0$ cuando $x=0$ o cuando $x=\pi$ . Bajo la misma restricción, $\cos x = \frac{1}{2}$ cuando $x=\frac{\pi}{3}$ o cuando $x=\frac{5\pi}{3}$ .

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones para obtener $0\le x <2\pi$ .

1. $\sin \frac{x}{2}=-1$

2. $\cos 2x-\cos x=0$

Respuestas

1. $\sin \frac{x}{2} &=-1 \\\\frac{x}{2} &=\frac{3\pi}{2} \\\x &=3\pi$

Podemos observar que no hay soluciones dentro del intervalo.

2. $\cos 2x - \cos x &=0 \\\2\cos ^2x-\cos x -1 &=0 \\\(2\cos x -1)(\cos x +1) &=0$

Iguala cada factor a cero y luego resuelve.

$2\cos x-1 &=0 \\\2\cos x &=1 \qquad \qquad \qquad \qquad\cos x +1=0\\\\cos x &=\frac{1}{2} \qquad \qquad and \qquad \qquad \cos x =-1\\\x &=\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ x=\pi \\\$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones para $0\le x < 2\pi$ .

$\cos x -\cos \frac{1}{2}x=0$
$\sin 2x \cos x=\sin x$
$\cos 3x - \cos ^3x=3\sin ^2x\cos x$
$\tan 2x - \tan x =0$
$\cos 2x -\cos x =0$
$2\cos ^2\frac{x}{2}=1$
$\tan \frac{x}{2}=4$
$\cos \frac{x}{2}=1+\cos x$
$\sin 2x +\sin x=0$
$\cos ^2x-\cos 2x =0$
$\frac{\cos 2x}{\cos ^2x}=1$
$\cos 2x-1=\sin^2x$
$\cos 2x =\cos x$
$\sin 2x-\cos 2x =1$
$\sin^2x-2=\cos 2x$
$\cot x+\tan x=2\csc 2x$