Definición de una Variable

En esta sección, aprenderás a cómo representar cantidades desconocidas para que así puedas escribir expresiones y ecuaciones algebraicas en situaciones de la vida diaria.

Si tuvieras un frasco lleno de monedas de diez y veinticinco centavos y sabes que el valor total de las monedas es de U$8,60, ¿cómo puedes escribir una ecuación que represente esta situación? Una vez que completes esta sección, serás capaz de utilizar las variables para escribir ecuaciones como esta que tengan valores desconocidos.

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CK-12 Foundation: 0101S Language of Algebra

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Orientación

A nadie le gusta realizar un problema una y otra vez, es por eso que los matemáticos inventaron el álgebra. El álgebra toma los principios básicos de las matemáticas y los considera del modo más general posible, para que así podamos resolver una vez un problema y luego utilizar el resultado de este para resolver un grupo de problemas similares.

En aritmética debes trabajas con números y sus operaciones aritméticas (tales como $+, \ -, \ \times, \ \div$ ). En álgebra, utilizamos símbolos llamados variables (los cuales a menudos son letras, como $x, \ y, \ a, \ b, \ c, \ \ldots$ ) para representar números y, en ocasiones, procesos.

Por ejemplo, podemos usar la letra $x$ para representar un número, que aún no conocemos, y el cual podemos necesitar conocer durante el curso de una operación. O podemos usar dos letras, como $x$ e $y$ , para mostrar una relación entre dos números sin la necesidad de saber el valor de los números. Las mismas letras pueden representar un amplio rango de números posible y una misma letra puede representar distintos números cuando se utiliza en dos problemas diferentes.

El utilizar variables ofrece ventajas sobre resolver cada problema desde el principio. Con las variables, podemos:

Expresar leyes aritméticas, tales como: $a + b = b + a$ para todos los números reales $a$ y $b$ .
Referirnos a números "desconocidos". Por ejemplo: encuentra el valor de $x$ en la ecuación $3x + 1 = 10$ .
Escribir más concisamente sobre las relaciones funcionales, tales como: "si vendes $x$ boletos, entonces tu ganancia será $3x - 10$ dólares o $f(x) = 3x - 10$ ,en donde $f$ es la función de ganancias y $x$ las ventas (es decir, la cantidad de entradas que vendiste)".

Ejemplo A

Escribe una ecuación algebraica para calcular el perímetro y el área del siguiente rectángulo.

Para encontrar el valor del perímetro, debemos sumar la longitud de sus 4 lados. Podemos calcularlo aunque no conozcamos el valor numérico de la longitud del lado, ya que podemos usar variables como $l$ y $w$ para representar los valores desconocidos de la longitud y el ancho. Si comenzamos desde la parte superior izquierda y trabajamos en el sentido de las manecillas del reloj, y si usamos la letra $P$ para representar el perímetro, entonces podemos decir que:

$P = l + w + l + w$

Estamos sumando $2 \ l$ y $2 \ w$ por lo que podemos decir que:

$P = 2 \cdot l + 2 \cdot w$

Generalmente, en álgebra se omiten los signos de multiplicación si es posible. Por ejemplo $11x$ es lo mismo que $11 \cdot x$ o $11 \times x$ . Por esto, el ejemplo anterior podemos expresarlo como:

$P = 2l + 2w$

El área se obtiene al multiplicar el ancho por el largo. . En términos algebraicos obtenemos:

$A = l \times w \to A = l \cdot w \to A = lw$

Nota: $2l + 2w$ por sí misma es una expresión algebraica ; $P = 2l + 2w$ es un ejemplo de una ecuación . La mayor diferencia entre una expresión y una ecuación es la presencia del signo igual (=).

En el ejemplo anterior, encontramos la manera más simple de expresar el perímetro y el área de un rectángulo del que no conocemos el ancho ni el largo. Ahora, cuando tenemos un rectángulo del cual sabemos sus dimensiones, podemos simplemente sustituir (o ingresar ) esos valores a la ecuación anterior. En esta unidad, nos encontraremos con muchas expresiones que podemos calcular al ingresar los valores de las variables que estén presentes en el problema.

Ejemplo B

Eric tiene un poco de dinero en su cuenta de ahorros. ¿Cuánto dinero necesita para comprar un juego que cuesta U$98?

Solución:

$M$ representará el dinero que Eric todavía necesita y $S$ representará el dinero que tiene ahorrado en su cuenta bancaria. Entonces, al restar el dinero que ya posee del total del dinero que necesita, podemos averiguar cuánto dinero todavía necesita:

$M=98-S.$

Ejemplo C

Escribe una ecuación que indique la suma de 3 veces la cantidad de un número más 5.

Solución:

$S$ representará la suma total. $n$ representará el número desconocido. Por lo que 3 veces la cantidad de un número es $3\cdot n$ por lo que la suma de eso más 5 es:

$S=3n+5.$

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Vocabulario

Utilizamos símbolos llamados variables (los cuales a menudos son letras, como $x, \ y, \ a, \ b, \ c, \ \ldots$ ) para representar números y, en ocasiones, procesos.

$2l + 2w$ por sí misma es una expresión algebraica ; $P = 2l + 2w$ es un ejemplo de una ecuación . La mayor diferencia entre una expresión y una ecuación es la presencia del signo igual (=).

Práctica guiada

Alex tiene una cantidad desconocida de monedas de 5 y 10 centavos en un jarro. Expresa mediante una ecuación algebraica la suma del dinero total que posee, en relación a la cantidad de monedas de 5 y 10 centavos que posee.

Solución

La letra $n$ representará el número de monedas de 5 centavos y $d$ las monedas de10 centavos que Alex tiene en el jarro. Ya que cada moneda de 5 centavos es igual a U$0,05, la cantidad de monedas de 5 centavos que posee será:

$0.05\cdot n$

Ya que cada moneda de 10 centavos es igual a U$0,10, la cantidad de monedas de 10 centavos que posee será:

$0.10\cdot d$

Esto significa que la suma total del dinero $M$ que Alex posee será:

$M=0.05 \cdot n +0.10 \cdot d.$

Al simplificar la ecuación, obtenemos:

$M=0.05n +0.10d.$

Practica

En los ejercicios del 1al 4, simplifique la ecuación al omitir el signo de multiplicación:

$2 \times 11x$
$1.35 \cdot y$
$3 \times \frac { 1 } { 4 }$
$\frac { 1 } { 4 } \cdot z$

En los ejercicios del 5 al 10, expresa en ecuaciones las siguientes situaciones:

La cantidad de dinero que posee Andrea en un jarro lleno de monedas de 25 y 10 centavos.
La cantidad de dinero que Michelle tiene en su monedero si solo contiene monedas de 25, 10 y 1 centavos.
La suma de 7 y 6 veces un número.
4 menos 20 veces un número.
La cantidad de dinero que ganarás si te pagan U$ 10,25 la hora y gastas U$ 4,00 en los viajes de ida y vuelta del trabajo.
Un padre gana una bonificación de U$ 2.000 por una inversión petrolera y lo reparte de manera igualitaria entre sus hijos.