Expresiones Algebraicas con Exponentes

En esta sección, calcularás expresiones algebraicas que tienen exponentes para valores con variables específicas.

Si supieras que el volumen de un cubo está representado por la fórmula $V = s^3$ , en donde s es el largo de un lado. Y, además, mides el lado del cubo y descubres que es de 4 centímetros. ¿Cómo puedes encontrar el volumen? Una vez que completes esta sección, serás capaz de calcular las expresiones exponenciales como la anterior.

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CK-12 Foundation: 0103S Evaluate Algebraic Expressions with Exponents

Para un análisis más detallado de los exponentes y sus propiedades, revise este video en http://www.mathvids.com/lesson/mathhelp/863-exponents---basics .

*Ambos videos solo están disponibles en Inglés

Orientación

Muchas fórmulas y expresiones en las matemáticas tienen exponentes. Los exponentes se utilizan como una notación abreviada para indicar una multiplicación repetitiva de un mismo número. Por ejemplo:

$2 \cdot 2 &= 2^2\\\2 \cdot 2 \cdot 2 &= 2^3$

El exponente representa cuántas veces el número es utilizado como un factor (multiplicado). Cuando trabajamos con números enteros, a menudo, es más fácil simplificar la expresión. Simplifiquemos:

$2^2 &= 4\\\2^3 &= 8$

Sin embargo, necesitamos los exponentes cuando trabajamos con variables, ya que es mucha más sencillo escribir $x^8$ en vez de $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Para calcular expresiones con exponentes, sustituimos los valores que nos han entregado para cada variable y la simplificamos. En este caso, es muy importante sustituir usando paréntesis, para que así nos aseguremos que la simplificación se haga correctamente.

Ejemplo A

El área de un círculo es igual a $A = \pi r^2$ . Encuentra el área de un círculo que tiene un radio $r = 17 \ inches$ .

Sustituye los valores en la ecuación.

$& A = \pi r^2 \qquad \ \text{Substitute} \ 17 \ \text{for} \ r.\\\& A = \pi (17)^2 \quad \pi \cdot 17 \cdot 17 \approx 907.9202 \ldots \ \text{Round to} \ 2 \ \text{decimal places.}$

El área es aproximadamente de 907,92 centímetros cuadrados.

Ejemplo B

Encuentra el valor $\frac { x^2y^3 } { x^3 + y^2 }$ , en donde $x = 2$ y $y = -4$ .

A continuación sustituye los valores de $x$ e $y$ en la ecuación:

$& \frac { x^2y^3 } { x^3 + y^2 } = \frac { (2)^2 (-4)^3 } { (2)^3 + (-4)^2 } \qquad \ \text{Substitute} \ 2 \ \text{for} \ x \ \text{and} \ -4 \ \text{for} \ y.\\\& \frac { 4(-64) } { 8 + 16 } = \frac { - 256 } { 24 } = \frac{-32}{3} \qquad \text{Evaluate expressions:} \ (2)^2 = (2)(2) = 4 \ \text{and}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ (2)^3 = (2)(2)(2) = 8. \ (-4)^2 = (-4)(-4) = 16 \ \text{and}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ (-4)^3 = (-4)(-4)(-4) = -64.$

Ejemplo C

La altura $(h)$ de un balón lanzado al aire está expresada en la fórmula $h = - 32t^2 + 60t + 20$ , en donde la altura está dada en centímetros y el tiempo $(t)$ en segundos. Encuentre la altura en que se encuentra el balón a $t = 2 \ seconds$ .

Solución

$h &= -32t^2 + 60t + 20\\\&= -32(2)^2 + 60(2) + 20 \qquad \text{Substitute} \ 2 \ \text{for} \ t.\\\&= -32(4) + 60(2) + 20\\\&= 12$

La altura en que está el balón es 12 centímetros.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Evaluate Algebraic Expressions with Exponents

*Este video solo está disponible en inglés

Vocabulario

Los exponentes se utilizan como una notación abreviada para indicar una multiplicación repetitiva de un mismo número. Por ejemplo:

$2 \cdot 2 &= 2^2\\\2 \cdot 2 \cdot 2 &= 2^3$

El exponente representa cuántas veces el número es utilizado como un factor (multiplicado).

Práctica guiada

Encuentra el valor de $\frac { a^2+b^2 } { a^2-b^2 }$ , en donde $a = -1$ y $b = 5$ .

A continuación, sustituye los valores de $a$ y $b$ en la ecuación.

$& \frac { a^2+b^2 } { a^2-b^2 } = \frac { (-1)^2+(5)^2 } { (-1)^2-(5)^2 } \qquad \ \text{Substitute} \ -1 \ \text{for} \ a \ \text{and} \ 5 \ \text{for} \ b.\\\& \frac { 1+25 } { 1-25 } = \frac { 26 } { 24 }=\frac{13}{12} \qquad \text{Evaluate and simplify expressions.}$

Practica

Calcula los ejercicios del 1 al 8 utilizando las variables $x = -1, \ y = 2, \ z = -3,$ y $w = 4$ .

$8x^3$
$\frac { 5x^2 } { 6z^3 }$
$3z^2 - 5w^2$
$x^2 - y^2$
$\frac { z^3 + w^3 } { z^3 - w^3 }$
$2x^3 - 3x^2 + 5x - 4$
$4w^3 + 3w^2 - w + 2$
$3 + \frac{ 1 } { z^2 }$

Para los ejercicios 9 y 10, utilice la afirmación: el volumen de una caja sin tapa está expresado por la fórmula $V = 4x(10 - x)^2$ , en donde $x$ representa la altura en centímetros y $V$ el volumen en centímetros cubicas.

¿Cuál es el volumen cuando $x = 2$ ?
¿Cuál es el volumen cuando $x = 3$ ?

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