Orden en que se Realizan las Operaciones

En esta sección, aprenderás el orden en que se deben realizar las operaciones para así saber cuál operación debes realizar en primer lugar al momento de calcular una expresión algebraica.

Si tuvieras una expresión matemática con múltiples operaciones como $17 - 4 \div 2 + 3 \times 5$ ? ¿cómo puedes encontrar su valor? Una vez que completes esta sección, serás capaz de saber cómo resolver expresiones como la anterior utilizando el orden correcto en que se realizan.

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CK-12 Foundation: 0104S Evaluate Algebraic Expressions with Grouping Symbols

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Orientación

Observa y calcula la siguiente expresión:

$2 + 4 \times 7 - 1 = ?$

¿De cuántas maneras diferentes podemos interpretar este problema y cuántas respuestas diferentes podría alguien encontrar?

La manera más fácil de solucionar la expresión es simplemente comenzar a resolverla desde la izquierda:

$& 2 + 4 \times 7 - 1\\\&= 6 \times 7 - 1\\\&= 42 - 1\\\&= 41$

Esta es la respuesta que obtendrías si introdujeras la expresión en una calculadora común. Sin embrago, si introdujeras la expresión en una calculadora científica o en una calculadora gráfica, la respuesta que obtengas probablemente sea 29.

En las matemáticas, el orden con el cual realizamos las variadas operaciones (tales como adición, multiplicación, etc.) es importante. En la expresión anterior, la multiplicación se realiza primero que la suma , por eso la debemos calcular primero. Escribamos nuevamente la expresión, pero ahora pondremos la multiplicación en paréntesis para así realizarla primero.

$2 + (4 \times 7) - 1 = ?$

Primero calculamos la operación en paréntesis: $4 \times 7 = 28$ . Nuestra expresión se convierte a:

$2 + (28) - 1 = ?$

Cuando finalmente debemos que realizar la adición y la sustracción, comenzamos a calcular lo que falta desde la izquierda:

$& 2 + 28 - 1\\\&= 30 - 1\\\ &= 29$

Los estudiantes de álgebra, a menudo utilizan la palabra “PEMDAS” para ayudarles a recordar el orden que deben seguir para calcular las expresiones matemáticas: P aréntesis, E xponentes, M ultiplicación, D ivisión, A dición y S ustracción.

Orden de las operaciones

Primero calcula todas las expresiones que estén dentro de P aréntesis (también todos los corchetes $[ \ ]$ y las llaves { }).
Luego, calcula E xponentes (términos como $3^2$ o $x^3$ ) .
A continuación, sigue con la M ultiplicación y la D ivisión comienza por la izquierda y resuelve resuelve tanto las multiplicaciones o las divisiones en el orden que aparezcan.
Finalmente, calcula la A dición y la S ustracción, comienza por la izquierda y resuelve tanto las adiciones o las sustracciones en el orden que aparezcan.

5. El primer paso a resolver en el orden de las operaciones es el paréntesis , pero en este se incluyen todos los símbolos de agrupación no solo el paréntesis más típico $( )$ , sino también los corchetes $[ \ ]$ y las llaves { }.

Ejemplo A

Calcula las siguientes expresiones:

a) $4 - 7 - 11 + 2$

b) $4 - (7 - 11) + 2$

c) $4 - [7 - (11 + 2)]$

Cada una de estas expresiones tiene los mismos números y las mismas operaciones matemáticas, en el mismo orden. Sin embargo, el lugar en el que se encuentran los numerosos símbolos de agrupación significa que debemos calcular todas las expresiones en orden distinto. Observemos como calcular cada uno de estos ejemplos.

a) Esta expresión no tiene paréntesis, exponentes, multiplicación o división. La regla PEMDAS dice que calculemos las adiciones y las sustracciones en el orden que aparezcan comenzando desde la izquierda hacia la derecha (NO la adición primero y luego la sustracción).

$4 - 7 - 11 + 2 & = -3 - 11 + 2\\\&= -14 + 2\\\&= -12$

b) Esta operación tiene paréntesis, por lo que primero calculamos $7 - 11= -4$ . Recuerda que cuando restamos un número negativo es lo mismo que sumar un positivo:

$4 - (7 - 11) + 2 & = 4 - (-4) + 2\\\&= 8 + 2\\\&= 10$

c) Una expresión puede tener una serie de números en conjuntos de paréntesis. Algunas expresiones tendrán un par de paréntesis dentro de otro paréntesis. Cuando nos encontramos con esta anidación de paréntesis , comenzamos desde el paréntesis que está en el interior y así hasta los que están más afuera.

También se pueden utilizar los corchetes para agrupar expresiones que necesitan estar en paréntesis. Esta expresión tiene corchetes y paréntesis. Comencemos con el grupo de números que se encuentra en el paréntesis que está más al interior: $11 + 2 = 13$ . Luego calculamos la operación que está en corchetes.

$4 - [7 - (11 + 2)] &= 4 - [7 - (13)]\\\&= 4 - [-6]\\\&= 10$

Ejemplo B

Calcula las siguientes expresiones:

a) $3 \times 5 - 7 \div 2$

b) $3 \times (5 - 7) \div 2$

a) En la expresión no hay símbolos de agrupación. Las reglas de PEMDAS nos dicen que primero debemos multiplicar y dividir, resolviendo la expresión de izquierda a derecha: $3 \times 5 = 15$ y $7 \div 2 = 3.5$ . (NOTA: no la multiplicación primero y luego la división). Después, restamos:

$3 \times 5 - 7 \div 2 &= 15 - 3.5\\\&= 11.5$

b) En esta expresión, primero calculamos las operaciones dentro del paréntesis: $5 - 7 = -2$ . Luego, resolvemos lo que queda de la expresión de izquierda a derecha:

$3 \times (5 - 7) \div 2 &= 3 \times (-2) \div 2\\\ &= (-6) \div 2\\\&= -3$

También podemos utilizar la regla del orden de las operaciones para simplificar una expresión que tiene muchas variables y luego sustituimos los valores específicos de esas variables.

Ejemplo C

Use las reglas de orden de las operaciones para calcular las siguientes expresiones:

a) $2 - (3x + 2)$ donde $x = 2$

b) $3y^2 + 2y + 1$ donde $y = -3$

a) El primer paso en esta expresión es sustituir el valor de $x$ en la expresión. Podemos ponerlo en paréntesis para no equivocarnos.

$2 - (3(2) + 2)$

(Nota: $3(2)$ es lo mismo que $3 \times 2$ .)

Al seguir las reglas de PEMDAS sabemos que primero debemos desarrollar el paréntesis. Dentro del paréntesis, debemos seguir las reglas de PEMDAS .

$2 - (3 \times 2 + 2) & = 2 - (6 + 2) \qquad \text{Inside the parentheses, we multiply first.}\\\2 - 8 & = -6 \qquad \qquad \quad \ \text{Next we add inside the parentheses, and finally we subtract.}$

b) El primer paso en esta expresión es sustituir los valores de $y$ en la expresión.

$3 \times (-3)^2 + 2 \times (-3)+1$

Al seguir las reglas de PEMDAS : nos damos cuenta que no podemos simplificar las expresiones en el paréntesis, por lo que debemos seguir con los exponentes.

$& 3 \times (-3)^2 + 2 \times (-3) + 1 \qquad \text{Evaluate exponents:} \ (-3)^2 = 9\\\& = 3 \times 9 + 2 \times (-3) + 1 \qquad \ \ \text{Evaluate multiplication:} \ 3 \times 9 = 27; \ 2 \times -3 = -6\\\& = 27 + (-6) + 1 \qquad \qquad \quad \ \ \text{Add and subtract in order from left to right.}\\\& = 27 - 6 + 1\\\& = 22$

En la parte (b) dejamos los números con signo negativo dentro del paréntesis para no equivocarnos. Esto no altera el orden de la operación, pero sí nos ayuda a evitar confusiones cuando multiplicamos números negativos.

Calculadoras gráficas

Una calculadora gráfica es una herramienta muy útil a la hora de calcular expresiones algebraicas. Al igual que una calculadora científica, las calculadoras gráficas siguen el orden implantado por las reglas de PEMDAS . Ahora, te enseñaremos dos formas de calcular expresiones utilizando una calculadora gráfica.

Ejemplo D

Calcula $\left [ 3(x^2 - 1)^2 - x^4 + 12 \right ] + 5x^3 - 1$ donde $x = -3$ .

Método 1: primero sustituye el valor de la variable en la expresión. Luego, calcula la expresión numérica con la calculadora.

En la expresión, sustituye el valor: $x = -3$ .

$\left [3((-3)^2 - 1)^2 - (-3)^4 + 12 \right ] + 5(-3)^3 - 1$

Ingresa la expresión tal como está a la calculadora y presiona [ENTER] . (Nota: usa $\land$ para introducir los exponentes)

La respuesta es -13.

Método 2: ingresa la expresión original en la calculadora y luego calcula.

Primero, guarda el valor de $x = -3$ en la calculadora. Ingresa -3 [STO] $x$ (Puedes ingresar la letra $x$ utilizando $x-$ [VAR] o [ALPHA] + [STO] ). Luego ingresa la expresión original en la calculadora y presiona [ENTER] .

La respuesta es -13.

El segundo método es mejor, ya que puedes calcular fácilmente la misma expresión usando cualquier valor en las variables. Por ejemplo, calculemos la misma expresión utilizando los valores $x = 2$ y $x = \frac { 2 } { 3 }$ .

Con el valor $x = 2$ , guarda el valor de $x$ en la calculadora: $2$ [STO] $x$ . Presiona [2nd] [ENTER] dos veces y podrás ver la última expresión que tipiaste sin necesidad de ingresarla nuevamente. Presiona [ENTER] para calcular la expresión.

La respuesta es 62.

Con el valor de $x = \frac { 2 } { 3 }$ , guarda el valor de $x$ en la calculadora: $\frac { 2 } { 3 }$ [STO] $x$ . Presiona [2nd] [ENTER] dos veces y podrás ver la última expresión que tipiaste sin necesidad de ingresarla nuevamente. Presiona [ENTER] para calcular la expresión.

La respuesta es 13.21, o $\frac { 1070 } { 81 }$ en forma de fracción.

Nota: en las calculadoras gráficas existe una diferencia entre el singo menos y el signo negativo. Cuando guardamos el valor negativo tres, necesitamos usar el signo negativo que está a la izquierda del botón [ENTER] en la calculadora. Por otro lado, para realizar una sustracción debemos usar el signo menos. Este se encuentra arriba del signo más a la derecha.

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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CK-12 Foundation: Evaluate with Grouping Symbols

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Vocabulario

Los estudiantes de álgebra, a menudo utilizan la palabra “PEMDAS” para ayudarles a recordar el orden que deben seguir para calcular las expresiones matemáticas: P aréntesis, E xponentes, M ultiplicación, D ivisión, A dición y S ustracción.

Orden de las operaciones

Primero calcula todas las expresiones que estén dentro de P aréntesis (también todos los corchetes $[ \ ]$ y las llaves { }).
Luego, calcula E xponentes (términos como $3^2$ o $x^3$ ) .
A continuación, sigue con la M ultiplicación y la D ivisión –comienza por la izquierda y resuelve tanto las multiplicaciones o las divisiones en el orden que aparezcan.
Finalmente, calcula la A dición y la S ustracción –comienza por la izquierda y resuelve tanto las adiciones o las sustracciones en el orden que aparezcan.

El primer paso en el orden de las operaciones es el paréntesis, , pero en este se incluyen todos los símbolos de agrupación no solo es paréntesis más típico $( )$ , sino también los corchetes $[ \ ]$ y las llaves { }.

A veces las expresiones tienen paréntesis dentro de otros paréntesis. Estos se llaman anidación de paréntesis.

Práctica guiada

Sigue las reglas de orden de las operaciones y calcula las siguientes expresiones:

a) $(3 \times 5) - (7 \div 2)$

b) $2 - (t - 7)^2 \times (u^3 - v)$ donde $t = 19, \ u = 4,$ y $v = 2$

Soluciones:

a) Primero, calculamos las expresiones dentro de los paréntesis: $3 \times 5 = 15$ y $7 \div 2 = 3.5$ . Luego realizamos las operaciones de izquierda a derecha:

$(3 \times 5) - (7 \div 2) &= 15 - 3.5\\\&= 11.5$

Nota que añadir el paréntesis no cambio la expresión en la parte c, pero si nos ayudo a leer mejor la expresión. Los paréntesis pueden usarse para cambiar el orden de las operaciones de una expresión, pero también pueden usarse para simplificarla y facilitar nuestra comprensión del problema.

b) el primer paso es sustituir los valores de $t, \ u,$ y $v$ en la expresión.

$2 - (19 - 7)^2 \times (4^3 - 2)$

Sigue las reglas de PEMDAS :

$& 2 - (19 - 7)^2 \times (4^3 - 2) \qquad \text{Evaluate parentheses:} \ (19 - 7) = 12; \ (4^3 - 2) = (64 - 2) = 62\\\& = 2 - 12^2 \times 62 \qquad \qquad \quad \ \text{Evaluate exponents:} \ 12^2 = 144\\\& = 2 - 144 \times 62 \qquad \qquad \quad \ \text{Multiply:} \ 144 \times 62 = 8928\\\& = 2 - 8928 \qquad \qquad \qquad \quad \text{Subtract.}\\\& = -8926$

La parte (b) en el último ejemplo nos muestra otro punto interesante. Cuando tenemos una expresión dentro de un paréntesis, debemos utilizar las reglas de PEMDAS para determinar el orden en el cual vamos a calcular las operaciones.

Practica

Calcula las siguientes expresiones las cuales tienen variables.
1. $2y^2$ donde $x = 1$ e $y = 5$
2. $3x^2 + 2x + 1$ donde $x = 5$
Usa las reglas del orden de las operaciones para calcular la siguiente expresión.
1. $2 + 7 \times 11 - 12 \div 3$
Calcula las siguientes expresiones las cuales tienen variables.
1. $(y^2 - x)^2$ donde $x = 2$ y $y = 1$

Para los ejercicios del 4 al 6, utiliza el orden de las operaciones aprendido para calcular las siguientes expresiones.

$8 - (19 - (2 + 5) - 7)$
$(3 + 7) \div (7 - 12)$
$(4 - 1)^2 + 3^2 \cdot 2$

Para los ejercicios del 7 al 10, pone paréntesis a las operaciones para convertirla en una verdadera ecuación.

$5 - 2 \times 6 - 5 + 2 = 5$
$12 \div 4 + 10 - 3 \times 3 + 7 = 11$
$22 - 32 - 5 \times 3 - 5 = 30$
$12 - 8 - 4 \times 5 = -8$

Para los ejercicios 11 y 12, calcula cada expresión utilizando una calculadora gráfica.

$x^2 + 2x - xy$ donde $x = 250$ y $y = -120$
$(xy - y^4)^2$ donde $x = 0.02$ y $y = -0.025$

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