Expresiones Algebraicas con Líneas Fraccionarias

En esta sección cómo aplicar la regla del orden de las operaciones para calcular expresiones algebraicas que tienen líneas fraccionarias y valores específicos de variables.

Si tuvieras una expresión matemática que tuviese líneas de fracciones como $\frac { (7 - 3)^2 } { 6 - 4 } + 5$ ¿cómo podrías encontrar su valor? Una vez que completes esta sección, serás capaz de utilizar las reglas del orden de las operaciones para calcular expresiones como esta.

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CK-12 Foundation: 0105S Evaluate Algebraic Expressions with Fraction Bars

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Para más práctica, puedes jugar un juego online de algebra que involucra el orden de las operaciones en http://www.funbrain.com/algebra/index.html .

Orientación

Las líneas fraccionarias se consideran símbolos de agrupación en las reglas de PEMDAS , por lo que debemos calcularlos primero, al igual que lo hacemos con los paréntesis. Todos los numeradores y los denominadores pueden ser vistos como si tuviesen paréntesis invisibles alrededor de ello. Cuando también han paréntesis reales recuerda que primero debes solucionar el símbolo de agrupación que esté más al interior. Si, por ejemplo, hay un paréntesis en el numerador, debes desarrollar este antes de solucionar la línea fraccionaria. Si el paréntesis está fuera de la fracción, la línea fraccionaria se debe calcular primero.

Ejemplo A

Usa las reglas de orden de las operaciones aprendidas para calcular la expresión: $\frac { z + 3 } { 4 } - 1$ donde $z = 2$

Solución:

Sustituimos el valor de $z$ en la expresión.

$\frac { 2 + 3 } { 4 } - 1$

Aunque esta expresión no tiene paréntesis, la línea fraccionaria también es un símbolo de agrupación, por lo que tiene el mismo efecto que un grupo de paréntesis. Podemos escribir “paréntesis invisibles” para ayudarnos:

$\frac { (2 + 3) }{ 4 } - 1$

Al seguir las reglas de PEMDAS , primero calculamos el numerador:

$\frac { 5 } { 4 } - 1$

Podemos convertir el $\frac { 5 } { 4 }$ a un número mixto:

$\frac { 5 } { 4 } = 1 \frac{1}{4}$

Luego, calculemos la expresión:

$\frac{5}{4}-1=1\frac{1}{4}-1=\frac{1}{4}$

Ejemplo B

Utiliza las reglas de orden de las operaciones calcula la expresión: $\left ( \frac{ a + 2 } { b + 4 } - 1 \right ) + b$ donde $a = 3$ y $b = 1$

Solución:

Sustituimos los valores de $a$ y $b$ en la expresión:

$\left ( \frac { 3 + 2 } { 1 + 4 } - 1 \right ) + 1$

Esta expresión tiene una anidación de paréntesis (recuerda que la línea fraccionaria tiene el mismo efecto de un paréntesis). El símbolo de agrupación que está más al interior es la línea fraccionaria. Primero calculamos el numerador $(3 + 2)$ y el denominador $(1 + 4)$ .

$\left ( \frac { 3 + 2 } { 1 + 4 } +1 \right ) + 1 & = \left ( \frac { 5 } { 5 } - 1 \right ) + 1 \qquad \text{Next we evaluate the inside of the parentheses. First we divide.}\\\& = (1 - 1) + 1 \qquad \ \ \text{Next we subtract.}\\\& = 0 + 1 = 1$

Ejemplo C

Calcula la expresión $\frac { 3x^2 - 4y^2 + x^4 } { (x + y)^\frac { 1 } { 2 }}$ donde $x = 2, \ y = -1$ .

Solución

Guarda los valores de $x$ e $y$ : 2 [STO] $x$ , -1 [STO] $y$ . (Se pueden ingresar las letras $x$ e $y$ utilizando [ALPHA] + [KEY] .) Ingresa la expresión en la calculadora. Cuando una expresión incluye una fracción, asegúrate de usar paréntesis: $\frac{(\text{numerator})}{(\text{denominator})}$ .

Presiona [ENTER] para obtener la respuesta: $24$ .

Mira este video si necesitas ayuda con los ejemplos anteriores.

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Vocabulario

Las líneas fraccionarias se consideran símbolos de agrupación en las reglas de PEMDAS , por lo que debemos calcularlos primero, al igual que lo hacemos con los paréntesis. Todos los numeradores y los denominadores pueden ser vistos como si tuviesen paréntesis invisibles alrededor de ello.

Práctica guiada

Usa las reglas del orden de las operaciones para calcular la siguiente expresión: $2 \times \left ( \frac { w + (x - 2z) } {(y + 2)^2} - 1 \right )$ donde $w = 11, x = 3, y = 1,$ y $z = -2$

Solución:

Sustituimos los valores de $w, x, y,$ $z$ en la expresión:

$2 \times \left ( \frac { 11 + (3 - 2(-2)) } { (1 + 2)^2 } - 1 \right )$

Esta complicada expresión tiene muchas capas de anidación de paréntesis. Un método para asegurarnos de comenzar con el paréntesis que está más al interior es usar diferentes tipos de paréntesis. Desde el exterior, podemos dejar los paréntesis que están más a los extremos como los típicos paréntesis $( )$ . Luego, los "paréntesis invisibles" de la línea fraccionarias, los cuales escribiremos como corchetes $[ \ ]$ . El tercer nivel de la anidación de paréntesis serán los que dejaremos como llaves { }. Los números negativos estarán entre paréntesis típicos ( ).

$& 2 \times \left ( \frac {[11 + \left \{3 - 2(-2)\right \}] } { \left [ \left \{1 + 2\right \}^2 \right ] } - 1 \right ) \qquad \text{Start with the innermost grouping sign:} \ \left \{ \right \}. \\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \left \{1 + 2\right \} = 3; \ \left \{3 - 2(-2)\right \} = 3 + 4 = 7\\\& = 2 \left ( \frac{ [11 + 7] } { [3^2] } - 1 \right ) \qquad \qquad \qquad \text{Next, evaluate the square brackets.}\\\& = 2 \left ( \frac { 18 } { 9 } - 1 \right ) \qquad \qquad \qquad \qquad \ \text{Next, evaluate the round brackets. Start with division.}\\\& =2(2 - 1) \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \text{Finally, do the addition and subtraction.}\\\& =2(1) = 2$

Practica

En los ejercicios del 1 al 3, usa las reglas del orden de las operaciones para calcular las siguientes expresiones.

$\frac {2 \cdot (3 + (2 - 1)) } { 4 - (6 + 2) } - (3 - 5)$
$\frac { 4 + 7(3) } { 9 - 4 } + \frac { 12 - 3 \cdot 2 } { 2 }$
$\frac { (2^2 + 5)^2} { 5^2 - 4^2} \div (2 + 1)$

Para los ejercicios 4 y 5, calcula las expresiones que tienen variables.

$\frac { jk } { j + k }$ donde $j = 6$ y $k = 12$
$\frac{ x + y^2 } { y - x }$ donde $x = 2$ y $y = 3$

En los ejercicios del 6 al 9, calcula las expresiones que tienen variables.

$\frac{ 4x } { 9x^2 - 3x + 1}$ donde $x = 2$
$\frac { z^2 } { x + y } + \frac{ x^2 } { x - y }$ donde $x = 1, \ y = -2,$ y $z = 4$
$\frac { 4xyz } { y^2 - x^2 }$ donde $x = 3, \ y = 2,$ y $z = 5$
$\frac { x^2 - z^2 } { xz - 2x(z - x)}$ donde $x = -1$ y $z = 3$

En los ejercicios del 10 al 14, calcula cada expresión utilizando una calculadora gráfica.

$x^2 + 2x - xy$ donde $x = 250$ y $y = -120$
$(xy - y^4)^2$ donde $x = 0.02$ y $y = -0.025$
$\frac { x + y - z } { xy + yz + xz }$ donde $x = \frac { 1 } { 2 }, \ y = \frac{3}{2},$ y $z = -1$
$\frac{(x + y)^2}{4x^2 - y^2}$ donde $x = 3$ y $y = -5$
$\frac{(x - y)^3}{x^3 - y} + \frac{(x + y)^2}{x + y^4}$ donde $x = 4$ y $y = -2$

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